Apotema (geometria)

In ogni poligono regolare con ${\displaystyle n}$ lati l'area totale può essere divisa in ${\displaystyle n}$ triangoli isosceli congruenti, le cui basi coincidono con i lati del poligono stesso e i lati obliqui con i segmenti che congiungono i vertici con l'incentro dello stesso. L'apotema tocca il lato del poligono sempre nel punto medio ed, essendo il raggio dell'incerchio rispetto a questo sempre perpendicolare, coincide con l'altezza del triangolo isoscele, la cui ampiezza al vertice misura una frazione esatta dell'angolo giro (angolo giro fratto ${\displaystyle n}$ : ${\displaystyle 2\pi /n}$ ).

Se ne può ricavare, quindi, che il rapporto fra l'apotema e il lato di un poligono regolare ${\displaystyle n}$ -agonale è sempre costante, e può essere ricavato a priori semplicemente sapendo il numero di lati attraverso le relazioni trigonometriche che legano gli elementi del triangolo. In questo caso trattandosi di un triangolo isoscele, l'apotema corrisponde a un cateto di un triangolo rettangolo avente come altro cateto il semilato (${\displaystyle l/2}$ ) del poligono e per ipotenusa il circumraggio e angolo adiacente ${\displaystyle \alpha }$ pari a ${\displaystyle \pi /n.}$

Considerando quindi ${\displaystyle R}$ come raggio della circonferenza circoscritta al poligono, ${\displaystyle l}$ la lunghezza di un lato del poligono e ${\displaystyle a_{n}}$ l'apotema (${\displaystyle r}$ nell'immagine a lato), si ottengono i seguenti rapporti:

${\displaystyle {\begin{aligned}l&=2R\sin {\frac {\pi }{n}}\\R&={\frac {l}{2\sin {\frac {\pi }{n}}}}\\a_{n}&=R\cos {\frac {\pi }{n}}={\frac {l\cos {\frac {\pi }{n}}}{2\sin {\frac {\pi }{n}}}}={\frac {l}{2\tan {\frac {\pi }{n}}}}.\end{aligned}}}$

Inoltre, grazie alla divisione in triangoli, è anche possibile capire come l'apotema faciliti notevolmente il calcolo delle aree in questi casi; basta infatti calcolare l'area del singolo triangolo e poi moltiplicarla per il numero dei lati.

${\displaystyle A_{n}=n{\frac {l\cdot a_{n}}{2}}}$ oppure ${\displaystyle A_{n}=s\cdot a_{n},}$

dove ${\displaystyle s}$ rappresenta il semiperimetro.

Dall'apotema derivano classicamente anche due numeri fissi, che sono vere e proprie costanti tipiche di ciascun poligono regolare e dipendenti unicamente dal numero dei lati.

• f_n il rapporto apotema/lato pari a ${\displaystyle {\frac {1}{2\tan {({\frac {\pi }{n}})}}}}$
• j_n il rapporto fra l'area del poligono e il quadrato del lato ${\displaystyle {\frac {nf_{n}}{2}}}$

• Inraggio
• Poligono regolare

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «apotema»
• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sull'apotema

• apotema, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• apotema, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Apotema, su MathWorld, Wolfram Research.

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