在紐結理論中,HOMFLY多項式或HOMFLY-PT多項式是一種雙變元的纽结多项式;透過變元代換,它可以涵括瓊斯多項式與亞歷山大多項式在三維的情形。
「HOMFLY」一名得自該多項式的發現者:Hoste、Ocneanu、Millett、Freyd、Lickorish、Yetter;「PT」二字旨在紀念另兩位獨立發現此結不變量的數學家 Przytycki 與 Traczyk。
拆接關係
HOMFLY多項式
由下述拆接關係唯一地定義:
![{\displaystyle P(\mathrm {unknot} )=1,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8bdd67f8adcda37e1959e081dfc0f75d7f5ea61)
![{\displaystyle \ell P(L_{+})+\ell ^{-1}P(L_{-})+mP(L_{0})=0,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f37cf74555a1ec0b1736427ec14a34eb498506e4)
其中unknot是平凡纽结;
代表結圖表在某個交點附近的性狀,如次圖所示:
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/63/Skein_%28HOMFLY%29.png/200px-Skein_%28HOMFLY%29.png)
上述關係可用以遞迴計算任一紐結之HOMFLY多項式,亦可導出
![{\displaystyle P(L_{1}\sqcup L_{2})={\frac {-(l+l^{-1})}{m}}P(L_{1})*P(L_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c029c3a962e31976dc464d37fe971347f26ee84c)
其它拆接關係
透過適當的變元代換,上節的拆接關係可換為
![{\displaystyle \alpha P(L_{+})-\alpha ^{-1}P(L_{-})=zP(L_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1997ff80fe411f99d4ad5305b9128cab1c8b1c89)
- 或者
![{\displaystyle xP(L_{+})+yP(L_{-})+zP(L_{0})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aeecd1f63045a765515ecc7b5fb80130089c21f)
主要性質
與瓊斯多項式的關係:
![{\displaystyle V(t)=P(\alpha =t,z=t^{1/2}-t^{-1/2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5544e5fccfe75690b2d6c5cc1c2a75921a3a3835)
與亞歷山大多項式的關係:
![{\displaystyle \Delta (t)=P(\alpha =1,z=t^{1/2}-t^{-1/2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efd7ef160f7b77190233bb252918c3c7664caf18)
對鏡像與連通和的關係:
![{\displaystyle P(L_{1}\#L_{2})=P(L_{1})P(L_{2}),\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ed7ed5470f258cdc788866dd300b9cb1c7b8415)
![{\displaystyle P_{K}(\ell ,m)=P_{\mathrm {MirrorImage(K)} }(\ell ^{-1},m)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/712b7150e96fcbadcd62dd033d4d846475070243)
陈-西蒙斯理论
SU(N)规范群的三维陈-西蒙斯理论给予HOMFLY多项式。[1]
参考文献
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