托里拆利小號的3D绘图.托里拆利小號(Torricelli's Trumpet)是由意大利数学家埃萬傑利斯塔·托里拆利(Evangelista Torricelli)所提出的一個表面積無限大但體積有限的三維形狀。此形狀又被稱為加百列號角(Gabriel's Horn),根據基督教傳說,天使長加百利吹號角以宣布審判日(Judgment Day)的到來。
數學定義
這個曲面是由
(x的域為
)的曲線沿
軸旋轉而成。以下是其体积和表面积的推导:
使用旋轉體的體積(V)和旋轉曲面的面積(A)公式[1],可得:
![{\displaystyle V=\int _{1}^{\infty }\pi y^{2}\mathrm {d} x=\pi \int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}}}\mathrm {d} x=\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff37704a5c675f5161b87f02fbfb80dedb71b187)
![{\displaystyle A=\int _{1}^{\infty }2\pi y{\sqrt {1+({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}})^{2}}}\mathrm {d} x=2\pi \int _{1}^{\infty }{\frac {\sqrt {1+{\frac {1}{x^{4}}}}}{x}}\mathrm {d} x>2\pi \int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\mathrm {d} x={\infty }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e1baa01e2f30fd7f23ac791ba9ba23ca3e717d5)
可见,托里拆利小号的体积是有限的但是表面积是无限的,其体积和表面积除了微積分方法也可以用祖暅原理得出。
需要注意的是,托里拆利小号和伪球面的形状和性质(体积有限)相似,但两者是完全不同的曲面。
参阅
参考资料
外部链接