Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Поліноми Лаґерра — ортогональні поліноми , названі на честь французького математика Едмона Лаґерра .
Поліномами Лаґерра називаються канонічні розв'язки диференційного рівняння
x y ″ + ( 1 − x ) y ′ + n y = 0 {\displaystyle x\,y''+(1-x)\,y'+n\,y=0\,} що є лінійним диференційним рівнянням другого порядку і має несингулярний розв'язок лише для невід'ємних цілих n .Для даних поліномів справедлива також явна формула Родрігеса:
L n ( x ) = e x n ! d n d x n ( e − x x n ) . {\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x}x^{n}\right).} Поліноми Лаґерра можна задати рекурсивно. Для цього слід взяти:
L 0 ( x ) = 1 {\displaystyle L_{0}(x)=1\,} L 1 ( x ) = 1 − x {\displaystyle L_{1}(x)=1-x\,} і визначити наступні поліноми за допомогою формули:
L k + 1 ( x ) = 1 k + 1 ( ( 2 k + 1 − x ) L k ( x ) − k L k − 1 ( x ) ) . {\displaystyle L_{k+1}(x)={\frac {1}{k+1}}\left((2k+1-x)L_{k}(x)-kL_{k-1}(x)\right).} Прикладами поліномів Лаґерра найменших степенів є:
n L n ( x ) {\displaystyle L_{n}(x)\,} 0 1 {\displaystyle 1\,} 1 − x + 1 {\displaystyle -x+1\,} 2 1 2 ( x 2 − 4 x + 2 ) {\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(x^{2}-4x+2)\,} 3 1 6 ( − x 3 + 9 x 2 − 18 x + 6 ) {\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{6}}}(-x^{3}+9x^{2}-18x+6)\,} 4 1 24 ( x 4 − 16 x 3 + 72 x 2 − 96 x + 24 ) {\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{24}}}(x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24)\,} 5 1 120 ( − x 5 + 25 x 4 − 200 x 3 + 600 x 2 − 600 x + 120 ) {\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{120}}}(-x^{5}+25x^{4}-200x^{3}+600x^{2}-600x+120)\,} 6 1 720 ( x 6 − 36 x 5 + 450 x 4 − 2400 x 3 + 5400 x 2 − 4320 x + 720 ) {\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{720}}}(x^{6}-36x^{5}+450x^{4}-2400x^{3}+5400x^{2}-4320x+720)\,}
Графіки поліномів Лаґерра. Узагальненими поліномами Лаґерра називаються поліноми визначені за допомогою узагальненої формули Родрігеса:
f ( x ) = { x α e − x / Γ ( 1 + α ) if x > 0 , 0 if x < 0 , {\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}x^{\alpha }e^{-x}/\Gamma (1+\alpha )&{\mbox{if}}\ x>0,\\0&{\mbox{if}}\ x<0,\end{matrix}}\right.} Тоді звичайні поліноми Лаґерра є окремим випадком:
E [ L n ( X ) L m ( X ) ] = 0 whenever n ≠ m . {\displaystyle E\left[L_{n}(X)L_{m}(X)\right]=0\ {\mbox{whenever}}\ n\neq m.} Узагальнений поліном Леґерра степеня n {\displaystyle n} також можна визначити за допомогою формули L n ( α ) ( x ) = ∑ i = 0 n ( − 1 ) i ( n + α n − i ) x i i ! {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{n+\alpha \choose n-i}{\frac {x^{i}}{i!}}}
Також виконуються рекурентні співвідношення :
L n ( α + β + 1 ) ( x + y ) = ∑ i = 0 n L i ( α ) ( x ) L n − i ( β ) ( y ) , {\displaystyle L_{n}^{(\alpha +\beta +1)}(x+y)=\sum _{i=0}^{n}L_{i}^{(\alpha )}(x)L_{n-i}^{(\beta )}(y),} Зокрема
L n ( α + 1 ) ( x ) = ∑ i = 0 n L i ( α ) ( x ) {\displaystyle L_{n}^{(\alpha +1)}(x)=\sum _{i=0}^{n}L_{i}^{(\alpha )}(x)} і L n ( α ) ( x ) = ∑ i = 0 n ( α − β + n − i − 1 n − i ) L i ( β ) ( x ) {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}{\alpha -\beta +n-i-1 \choose n-i}L_{i}^{(\beta )}(x)} , або L n ( α ) ( x ) = ∑ i = 0 n ( α − β + n n − i ) L i ( β − i ) ( x ) ; {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}{\alpha -\beta +n \choose n-i}L_{i}^{(\beta -i)}(x);} Прикладами узагальнених поліномів Лаґерра найменших степенів є:
L 0 ( α ) ( x ) = 1 {\displaystyle L_{0}^{(\alpha )}(x)=1} L 1 ( α ) ( x ) = − x + α + 1 {\displaystyle L_{1}^{(\alpha )}(x)=-x+\alpha +1} L 2 ( α ) ( x ) = x 2 2 − ( α + 2 ) x + ( α + 2 ) ( α + 1 ) 2 {\displaystyle L_{2}^{(\alpha )}(x)={\frac {x^{2}}{2}}-(\alpha +2)x+{\frac {(\alpha +2)(\alpha +1)}{2}}} L 3 ( α ) ( x ) = − x 3 6 + ( α + 3 ) x 2 2 − ( α + 2 ) ( α + 3 ) x 2 + ( α + 1 ) ( α + 2 ) ( α + 3 ) 6 {\displaystyle L_{3}^{(\alpha )}(x)={\frac {-x^{3}}{6}}+{\frac {(\alpha +3)x^{2}}{2}}-{\frac {(\alpha +2)(\alpha +3)x}{2}}+{\frac {(\alpha +1)(\alpha +2)(\alpha +3)}{6}}} Узагальнені поліноми Лаґерра є ортогональними на проміжку [0, ∞) з вагою x α e −x :
∫ 0 ∞ x α e − x L n ( α ) ( x ) L m ( α ) ( x ) d x = Γ ( n + α + 1 ) n ! δ n , m , {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\alpha }e^{-x}L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{m}^{(\alpha )}(x)dx={\frac {\Gamma (n+\alpha +1)}{n!}}\delta _{n,m},} Для звичайних поліномів Лаґерра виконується рівність:
⟨ f , g ⟩ = ∫ 0 ∞ f ( x ) g ( x ) e − x d x . {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{\infty }f(x)g(x)e^{-x}\,dx.} Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), "Chapter 22", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 0-486-61272-4 . B Spain, M G Smith, Functions of mathematical physics , Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 10 deals with Laguerre polynomials. Eric W. Weisstein, "Laguerre Polynomial [Архівовано 25 лютого 2010 у Wayback Machine .] ", From MathWorld—A Wolfram Web Resource. George Arfken and Hans Weber (2000). Mathematical Methods for Physicists . Academic Press. ISBN 0-12-059825-6 . S. S. Bayin (2006), Mathematical Methods in Science and Engineering , Wiley, Chapter 3.