Участник:Ququ/ToDo

$${\displaystyle \psi (x)=\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}e^{-ip\cdot x}\psi (p)}$$Уравнение Клейна - Гордона (уравнение Клейна - Фока - Гордона или иногда уравнение Клейна - Гордона - Фока) — релятивистское волновое уравнение, родственное уравнению Шрёдингера. Оно второго порядка в пространстве и времени и явно лоренц-ковариантно. Это квантовая версия релятивистского соотношения энергии и импульса ${\displaystyle E^{2}=(pc)^{2}+\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}\,}$. Его решения включают квантовое скалярное или псевдоскалярное поле — поле, квантами которого являются бесспиновые частицы. Его теоретическая значимость аналогична значению уравнения Дирака^[1]. Электромагнитные взаимодействия могут быть включены, образуя тему скалярной электродинамики, но поскольку обычные бесспиновые частицы, такие как пионы, нестабильны и также испытывают сильное взаимодействие (с неизвестным членом взаимодействия в гамильтониане)^[2], практическая полезность ограничена.

Уравнение можно представить в виде уравнения Шрёдингера. В этой форме оно выражается как два связанных дифференциальных уравнения, каждое первого порядка по времени^[3]. Решения имеют две компоненты, отражающие зарядовую степень свободы в теории относительности^[3][4]. Оно допускает сохраняющуюся величину (электрического тока), но она не является положительно определённой. Поэтому волновую функцию нельзя интерпретировать как амплитуду вероятности. Вместо этого сохраняющаяся величина интерпретируется как электрический заряд, а квадрат нормы волновой функции интерпретируется как плотность заряда. Уравнение описывает все бесспиновые частицы с положительным, отрицательным и нулевым зарядом.

Любое решение свободного уравнения Дирака для каждой из четырёх его компонент является решением свободного уравнения Клейна - Гордона. Однако уравнение Клейна - Гордона не лежит в основаниях последовательной квантовой релятивистской одночастичной теории. Для полного примирения квантовой механики со специальной теорией относительности необходима квантовая теория поля, в которой уравнение Клейна - Гордона вновь возникает как уравнение, которому подчиняются компоненты всех свободных квантовых полей^{[nb 1]}. В квантовой теории поля по-прежнему играют роль решения свободных (невзаимодействующих) версий исходных уравнений. Они нужны для построения гильбертова пространства (пространства Фока) и выражения квантовых полей с помощью полных наборов (охватывающих наборов гильбертова пространства) волновых функций.

Уравнение Клейна - Гордона можно записать по-разному. Само уравнение обычно записывается в координатной форме, где его можно записать в терминах разделенных пространственных и временных переменных. ${\displaystyle (t,\mathbf {x} )}$ или объединив их в четырёхвекторный вид ${\displaystyle x=(ct,\mathbf {x} )}$. Путём преобразования Фурье поля в пространство импульсов решение обычно записывается в терминах суперпозиции плоских волн, энергия и импульс которых подчиняются закону дисперсии энергии-импульса из специальной теории относительности. Здесь уравнение Клейна - Гордона дано для двух общих соглашений о метрических сигнатурах. ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(\pm 1,\mp 1,\mp 1,\mp 1)}$.

Уравнение Клейна–Гордона в нормальных единицах с метрической сигнатурой ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(\pm 1,\mp 1,\mp 1,\mp 1)}$

	Позиционное пространство ${\displaystyle x=(ct,\mathbf {x} )}$	Преобразование Фурье ${\displaystyle \omega =E/\hbar ,\quad \mathbf {k} =\mathbf {p} /\hbar }$	Импульсное пространство ${\displaystyle p=(E/c,\mathbf {p} )}$
Отдельный время и место	${\displaystyle \left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right)\psi (t,\mathbf {x} )=0}$	${\displaystyle \psi (t,\mathbf {x} )=\int {\frac {\mathrm {d} \omega }{2\pi \hbar }}\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}k}{(2\pi \hbar )^{3}}}\,e^{\mp i(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} )}\psi (\omega ,\mathbf {k} )}$	${\displaystyle E^{2}=\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}$
Четырехвекторная форма	${\displaystyle (\Box +\mu ^{2})\psi (x)=0,\quad \mu =mc/\hbar }$	${\displaystyle \psi (x)=\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi \hbar )^{4}}}e^{-ip\cdot x/\hbar }\psi (p)}$	${\displaystyle p^{2}=\pm m^{2}c^{2}}$

Здесь, ${\displaystyle \Box =\pm \eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }}$ - волновой оператор и ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ — оператор Лапласа. Скорость света ${\displaystyle c}$ и постоянная Планка ${\displaystyle \hbar }$ часто загромождают уравнения, поэтому их часто выражают в натуральных единицах, где ${\displaystyle c=\hbar =1}$.

Уравнение Клейна - Гордона в натуральных единицах с метрической сигнатурой ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(\pm 1,\mp 1,\mp 1,\mp 1)}$

	Позиционное пространство ${\displaystyle x=(t,\mathbf {x} )}$	Преобразование Фурье ${\displaystyle \omega =E,\quad \mathbf {k} =\mathbf {p} }$	Импульсное пространство ${\displaystyle p=(E,\mathbf {p} )}$
Отдельный время и место	${\displaystyle \left(\partial _{t}^{2}-\nabla ^{2}+m^{2}\right)\psi (t,\mathbf {x} )=0}$	${\displaystyle \psi (t,\mathbf {x} )=\int {\frac {\mathrm {d} \omega }{2\pi }}\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}k}{(2\pi )^{3}}}e^{\mp i(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} )}\psi (\omega ,\mathbf {k} )}$	${\displaystyle E^{2}=\mathbf {p} ^{2}+m^{2}}$
Четырехвекторная форма	${\displaystyle (\Box +m^{2})\psi (x)=0}$	${\displaystyle \psi (x)=\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}e^{-ip\cdot x}\psi (p)}$	${\displaystyle p^{2}=\pm m^{2}}$

В отличие от уравнения Шрёдингера, уравнение Клейна - Гордона допускает два значения ω для каждого k: одно положительное и одно отрицательное. Только разделив положительную и отрицательную частотные части, можно получить уравнение, описывающее релятивистскую волновую функцию. В нестационарном случае уравнение Клейна - Гордона принимает вид

${\displaystyle \left[\nabla ^{2}-{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right]\psi (\mathbf {r} )=0,}$

что формально совпадает с однородным экранированным уравнением Пуассона.

Здесь уравнение Клейна - Гордона в натуральных единицах: ${\displaystyle (\Box +m^{2})\psi (x)=0}$, с метрической сигнатурой ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(+1,-1,-1,-1)}$ решается преобразованием Фурье. Вставка преобразования Фурье $${\displaystyle \psi (x)=\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}e^{-ip\cdot x}\psi (p)}$$ и использование ортогональности комплексных экспонент дает дисперсионное соотношение $${\displaystyle p^{2}=(p^{0})^{2}-\mathbf {p} ^{2}=m^{2}}$$ Это ограничивает импульсы теми, которые лежат на оболочке, приходя к решениям с положительной и отрицательной энергиями. $${\displaystyle p^{0}=\pm E(\mathbf {p} )\quad {\text{where}}\quad E(\mathbf {p} )={\sqrt {\mathbf {p} ^{2}+m^{2}}}.}$$ Для нового набора констант ${\displaystyle C(p)}$, тогда решение становится $${\displaystyle \psi (x)=\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}e^{ip\cdot x}C(p)\delta ((p^{0})^{2}-E(\mathbf {p} )^{2}).}$$ Обычно решения с положительной и отрицательной энергией решаются путём разделения отрицательных энергий и работы только с положительными энергиями. ${\displaystyle p^{0}}$ : $${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x)=&\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\delta ((p^{0})^{2}-E(\mathbf {p} )^{2})\left(A(p)e^{-ip^{0}x^{0}+ip^{i}x^{i}}+B(p)e^{+ip^{0}x^{0}+ip^{i}x^{i}}\right)\theta (p^{0})\\=&\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\delta ((p^{0})^{2}-E(\mathbf {p} )^{2})\left(A(p)e^{-ip^{0}x^{0}+ip^{i}x^{i}}+B(-p)e^{+ip^{0}x^{0}-ip^{i}x^{i}}\right)\theta (p^{0})\\\rightarrow &\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\delta ((p^{0})^{2}-E(\mathbf {p} )^{2})\left(A(p)e^{-ip\cdot x}+B(p)e^{+ip\cdot x}\right)\theta (p^{0})\\\end{aligned}}\,.}$$ На последнем этапе ${\displaystyle B(p)\rightarrow B(-p)}$ был переименован. Теперь мы можем выполнить ${\displaystyle p^{0}}$ -интегрирование, извлекающее только положительную частотную часть из дельта-функции:

Обычно это принимают за общее решение уравнения Клейна - Гордона. Обратите внимание: поскольку исходное преобразование Фурье содержало лоренц-инвариантные величины, такие как ${\displaystyle p\cdot x=p_{\mu }x^{\mu }}$ только последнее выражение также является лоренц-инвариантным решением уравнения Клейна – Гордона. Если не требуется лоренц-инвариантность, можно поглотить ${\displaystyle 1/2E(\mathbf {p} )}$ -фактор в коэффициентах ${\displaystyle A(p)}$ и ${\displaystyle B(p)}$ .

Уравнение было названо в честь физиков Оскара Клейна ^[5] и Уолтера Гордона ^[6], которые в 1926 году предположили, что оно описывает релятивистские электроны. Владимир Фок также открыл уравнение независимо в 1926 году, немного позже работы Кляйна, ^[7] в том смысле, что статья Кляйна была получена 28 апреля 1926 года, статья Фока была получена 30 июля 1926 года, а статья Гордона 29 сентября 1926 года. Другие авторы сделали аналогичные заявления в том же году: Иоганн Кудар, Теофиль де Дондер и Франс-Х. ван ден Дунген и Луи де Бройль . Хотя оказалось, что для моделирования спина электрона требуется уравнение Дирака, уравнение Клейна-Гордона правильно описывает бесспиновые релятивистские составные частицы, такие как пион . 4 июля 2012 года Европейская организация ядерных исследований ЦЕРН объявила об открытии бозона Хиггса . Поскольку бозон Хиггса представляет собой частицу с нулевым спином, это первая наблюдаемая якобы элементарная частица, описываемая уравнением Клейна-Гордона. Необходимы дальнейшие эксперименты и анализ, чтобы определить, является ли наблюдаемый бозон Хиггса бозоном Стандартной модели или более экзотической, возможно, составной формой.

Уравнение Клейна-Гордона было впервые рассмотрено как квантовое волновое уравнение Шредингером в его поисках уравнения, описывающего волны де Бройля . Уравнение можно найти в его записных книжках конца 1925 года, и он, судя по всему, подготовил рукопись, применив его к атому водорода. Тем не менее, поскольку оно не учитывает спин электрона, уравнение неправильно предсказывает тонкую структуру атома водорода, включая переоценку общей величины картины расщепления в несколько раз.

В 1926 году, вскоре после введения уравнения Шрёдингера, Владимир Фок написал статью о его обобщении на случай магнитных полей, где силы зависели от скорости, и самостоятельно вывел это уравнение. И Кляйн, и Фок использовали метод Калуцы и Кляйна. Фок также определил калибровочную теорию для волнового уравнения . Уравнение Клейна-Гордона для свободной частицы имеет простое решение в виде плоской волны .

Нерелятивистское уравнение для энергии свободной частицы имеет вид

${\displaystyle {\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}=E.}$

Квантуя это, мы получаем нерелятивистское уравнение Шрёдингера для свободной частицы:

${\displaystyle {\frac {\mathbf {\hat {p}} ^{2}}{2m}}\psi ={\hat {E}}\psi ,}$

где

${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \mathbf {\nabla } }$

— оператор импульса ( ∇ — оператор del ), а

${\displaystyle {\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}}$

является энергетическим оператором .

Уравнение Шрёдингера страдает тем, что оно не является релятивистски инвариантным, а это означает, что оно несовместимо со специальной теорией относительности .

Естественно попытаться использовать тождество из специальной теории относительности, описывающее энергию:

${\displaystyle {\sqrt {\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}=E.}$

Тогда простое добавление квантово-механических операторов для импульса и энергии дает уравнение

${\displaystyle {\sqrt {(-i\hbar \mathbf {\nabla } )^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}\,\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi .}$

Квадратный корень из дифференциального оператора можно определить с помощью преобразований Фурье, но из-за асимметрии производных по пространству и времени Дирак счел невозможным включить внешние электромагнитные поля релятивистски-инвариантным способом. Поэтому он искал другое уравнение, которое можно было бы модифицировать, чтобы описать действие электромагнитных сил. Кроме того, это уравнение в его нынешнем виде нелокально (см. также Введение в нелокальные уравнения ).

Вместо этого Кляйн и Гордон начали с квадрата вышеуказанного тождества, т.е.

${\displaystyle \mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}=E^{2},}$

что при квантовании дает

${\displaystyle \left((-i\hbar \mathbf {\nabla } )^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}\right)\psi =\left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{2}\psi ,}$

что упрощается до

${\displaystyle -\hbar ^{2}c^{2}\mathbf {\nabla } ^{2}\psi +m^{2}c^{4}\psi =-\hbar ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi .}$

Перестановка терминов дает результат

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\mathbf {\nabla } ^{2}\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0.}$

Поскольку из этого уравнения исключены все ссылки на мнимые числа, его можно применять как к полям с действительными значениями, так и к полям с комплексными значениями .

Переписав первые два члена, используя обратную метрику Минковского diag(−c², 1, 1, 1), и явно записав соглашение Эйнштейна о суммировании, мы получаем

${\displaystyle -\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\,\partial _{\nu }\psi \equiv \sum _{\mu =0}^{3}\sum _{\nu =0}^{3}-\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\,\partial _{\nu }\psi ={\frac {1}{c^{2}}}\partial _{0}^{2}\psi -\sum _{\nu =1}^{3}\partial _{\nu }\,\partial _{\nu }\psi ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\mathbf {\nabla } ^{2}\psi .}$

Таким образом, уравнение Клейна–Гордона можно записать в ковариантной записи. Часто это означает аббревиатуру в виде

${\displaystyle (\Box +\mu ^{2})\psi =0,}$

где

${\displaystyle \mu ={\frac {mc}{\hbar }},}$

и использование ортогональности комплексных экспонент дает дисперсионное соотношение

${\displaystyle \Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}.}$

Этот оператор называется волновым оператором .

Сегодня эта форма интерпретируется как уравнение релятивистского поля для частиц со спином -0. ^[3] Более того, любой компонент любого решения свободного уравнения Дирака (для частицы со спином 1/2 ) автоматически является решением свободного уравнения Клейна – Гордона. Это распространяется на частицы любого спина из-за уравнений Баргмана-Вигнера . Более того, в квантовой теории поля каждый компонент каждого квантового поля должен удовлетворять свободному уравнению Клейна-Гордона, ^[8] что делает это уравнение общим выражением квантовых полей.

Уравнение Клейна – Гордона можно обобщить для описания поля в некотором потенциале. ${\displaystyle V(\psi )}$ как ^[9]

${\displaystyle \Box \psi +{\frac {\partial V}{\partial \psi }}=0.}$

Тогда уравнение Клейна–Гордона имеет место ${\displaystyle V(\psi )=M^{2}{\bar {\psi }}\psi }$ .

Другой распространенный выбор потенциала, который возникает во взаимодействующих теориях, - это ${\displaystyle \phi ^{4}}$ потенциал реального скалярного поля ${\displaystyle \phi ,}$

${\displaystyle V(\phi )={\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}+\lambda \phi ^{4}.}$

Чистый сектор бозона Хиггса Стандартной модели моделируется полем Клейна – Гордона с потенциалом, обозначаемым ${\displaystyle H}$ для этого раздела. Стандартная модель представляет собой калибровочную теорию, поэтому, хотя поле тривиально преобразуется под действием группы Лоренца, оно преобразуется как ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ -значный вектор под действием ${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$ входит в состав калибровочной группы. Следовательно, хотя это векторное поле ${\displaystyle H:\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow \mathbb {C} ^{2}}$, его по-прежнему называют скалярным полем, поскольку скаляр описывает его преобразование (формально представление) под группой Лоренца. Это также обсуждается ниже в разделе скалярной хромодинамики.

Поле Хиггса моделируется потенциальным

${\displaystyle V(H)=-m^{2}H^{\dagger }H+\lambda (H^{\dagger }H)^{2}}$ ,

которую можно рассматривать как обобщение ${\displaystyle \phi ^{4}}$ потенциал, но имеет важное отличие: у него есть круг минимумов. Это наблюдение является важным в теории спонтанного нарушения симметрии Стандартной модели.

Уравнение Клейна–Гордона (и действие) для комплексного поля ${\displaystyle \psi }$ признает ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$ симметрия. То есть при преобразованиях

${\displaystyle \psi (x)\mapsto e^{i\theta }\psi (x),}$

${\displaystyle {\bar {\psi }}(x)\mapsto e^{-i\theta }{\bar {\psi }}(x),}$

уравнение Клейна – Гордона инвариантно, как и действие (см. ниже). По теореме Нётер для полей, соответствующих этой симметрии, существует ток ${\displaystyle J^{\mu }}$ определяется как

${\displaystyle J^{\mu }(x)={\frac {e}{2m}}\left(\,{\bar {\psi }}(x)\partial ^{\mu }\psi (x)-\psi (x)\partial ^{\mu }{\bar {\psi }}(x)\,\right).}$

которое удовлетворяет уравнению сохранения ${\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }(x)=0.}$ Форму сохраняющегося тока можно получить систематически, применяя теорему Нётер к ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$ симметрия. Мы не будем здесь этого делать, а просто проверим, что этот ток сохраняется.

Из уравнения Клейна–Гордона для комплексного поля ${\displaystyle \psi (x)}$ массы ${\displaystyle M}$, записанный в ковариантной записи и в основном плюс подпись,

${\displaystyle (\square +m^{2})\psi (x)=0}$

и его комплексно-сопряженный

${\displaystyle (\square +m^{2}){\bar {\psi }}(x)=0.}$

Умножая слева соответственно на ${\displaystyle {\bar {\psi }}(x)}$ и ${\displaystyle \psi (x)}$ (и опуская для краткости явное ${\displaystyle x}$ зависимость),

${\displaystyle {\bar {\psi }}(\square +m^{2})\psi =0,}$

${\displaystyle \psi (\square +m^{2}){\bar {\psi }}=0.}$

Вычитая первое из второго, получаем

${\displaystyle {\bar {\psi }}\square \psi -\psi \square {\bar {\psi }}=0,}$

или в индексной записи,

${\displaystyle {\bar {\psi }}\partial _{\mu }\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial _{\mu }\partial ^{\mu }{\bar {\psi }}=0.}$

Применяя это к производной тока ${\displaystyle J^{\mu }(x)\equiv \psi ^{*}(x)\partial ^{\mu }\psi (x)-\psi (x)\partial ^{\mu }\psi ^{*}(x),}$ можно найти

${\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }(x)=0.}$

Этот ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$ симметрия — это глобальная симметрия, но ее также можно оценить для создания локальной или калибровочной симметрии: см. ниже скалярную КЭД. Название калибровочной симметрии несколько вводит в заблуждение: на самом деле это избыточность, тогда как глобальная симметрия — это настоящая симметрия.

Уравнение Клейна–Гордона также может быть получено вариационным методом, возникающим как уравнение Эйлера–Лагранжа действия

${\displaystyle T^{\mu \nu }=\hbar ^{2}\left(\eta ^{\mu \alpha }\eta ^{\nu \beta }+\eta ^{\mu \beta }\eta ^{\nu \alpha }-\eta ^{\mu \nu }\eta ^{\alpha \beta }\right)\partial _{\alpha }{\bar {\psi }}\,\partial _{\beta }\psi -\eta ^{\mu \nu }M^{2}c^{2}{\bar {\psi }}\psi .}$

В натуральных единицах, с сигнатурой преимущественно минус, действия принимают простую форму.$${\displaystyle p^{2}=(p^{0})^{2}-\mathbf {p} ^{2}=m^{2}}$$для реального скалярного поля массы ${\displaystyle m}$, и$${\displaystyle p^{0}=\pm E(\mathbf {p} )\quad {\text{where}}\quad E(\mathbf {p} )={\sqrt {\mathbf {p} ^{2}+m^{2}}}.}$$для комплексного скалярного поля массы ${\displaystyle M}$ .

Применяя формулу для тензора энергии-импульса к плотности лагранжиана (величине внутри интеграла), мы можем получить тензор энергии-импульса скалярного поля. Это

${\displaystyle T^{\mu \nu }=2\partial ^{\mu }{\bar {\psi }}\partial ^{\nu }\psi -\eta ^{\mu \nu }(\partial ^{\rho }{\bar {\psi }}\partial _{\rho }\psi -M^{2}{\bar {\psi }}\psi )}$

и в натуральных единицах,

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int \left(-\hbar ^{2}\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }{\bar {\psi }}\,\partial _{\nu }\psi -M^{2}c^{2}{\bar {\psi }}\psi \right)\mathrm {d} ^{4}x,}$

Интегрируя время-временную составляющую T⁰⁰ по всему пространству, можно показать, что решения в виде плоских волн как с положительной, так и с отрицательной частотой могут быть физически связаны с частицами с положительной энергией. Это не относится к уравнению Дирака и его тензору энергии-импульса. ^[3]

Тензор энергии напряжения представляет собой набор сохраняющихся токов, соответствующих инвариантности уравнения Клейна – Гордона относительно сдвигов пространства-времени. ${\displaystyle x^{\mu }\mapsto x^{\mu }+c^{\mu }}$ . Поэтому каждый компонент сохраняется, т.е. ${\displaystyle \partial _{\mu }T^{\mu \nu }=0}$ (это справедливо только на оболочке, то есть когда выполняются уравнения Клейна – Гордона). Отсюда следует, что интеграл от ${\displaystyle T^{0\nu }}$ в пространстве является сохраняющейся величиной для каждого ${\displaystyle \nu }$ . Они имеют физическую интерпретацию полной энергии для ${\displaystyle \nu =0}$ и общий импульс для ${\displaystyle \nu =i}$ с ${\displaystyle i\in \{1,2,3\}}$ .

Принятие нерелятивистского предела ( v ≪ c ) классического поля Клейна – Гордона ψ(x, t) начинается с анзаца, учитывающего член энергии осциллирующей массы покоя ,

${\displaystyle \psi (\mathbb {x} ,t)=\phi (\mathbb {x} ,t)\,e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}\quad {\textrm {where}}\quad \phi (\mathbb {x} ,t)=u_{E}(x)e^{-{\frac {i}{\hbar }}E't}.}$

Определение кинетической энергии ${\displaystyle E'=E-mc^{2}={\sqrt {m^{2}c^{4}+c^{2}p^{2}}}-mc^{2}\approx {\frac {p^{2}}{2m}}}$, ${\displaystyle E'\ll mc^{2}}$ в нерелятивистском пределе ${\displaystyle v=p/m\ll c}$, и поэтому

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=E'\phi \ll mc^{2}\phi \quad {\textrm {and}}\quad (i\hbar )^{2}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}=(E')^{2}\phi \ll (mc^{2})^{2}\phi .}$

Применение этого метода дает нерелятивистский предел второй производной по времени. ${\displaystyle \psi }$ ,

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=\left(-i{\frac {mc^{2}}{\hbar }}\phi +{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)\,e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}\approx -i{\frac {mc^{2}}{\hbar }}\phi \,e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=-\left(i{\frac {2mc^{2}}{\hbar }}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\left({\frac {mc^{2}}{\hbar }}\right)^{2}\phi -{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}\right)e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}\approx -\left(i{\frac {2mc^{2}}{\hbar }}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\left({\frac {mc^{2}}{\hbar }}\right)^{2}\phi \right)e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}}$

Подставляя в свободное уравнение Клейна–Гордона: ${\displaystyle c^{-2}\partial _{t}^{2}\psi =\nabla ^{2}\psi -m^{2}\psi }$, дает

${\displaystyle -{\frac {1}{c^{2}}}\left(i{\frac {2mc^{2}}{\hbar }}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\left({\frac {mc^{2}}{\hbar }}\right)^{2}\phi \right)e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}\approx \left(\nabla ^{2}-\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\right)\phi \,e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}}$

что (путем деления экспоненты и вычитания массового члена) упрощается до

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\phi .}$

Это классическое поле Шрёдингера .

Аналогичный предел квантового поля Клейна – Гордона осложняется некоммутативностью оператора поля. В пределе v ≪ c операторы рождения и уничтожения разделяются и ведут себя как независимые квантовые поля Шрёдингера .

Есть способ создать сложное поле Клейна-Гордона. ${\displaystyle \psi }$ взаимодействуют с электромагнетизмом калибровочно-инвариантным образом. Мы можем заменить (частную) производную калибровочно-ковариантной производной. Под местным ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$ калибровочное преобразование, поля преобразуются как

${\displaystyle \psi \mapsto \psi '=e^{i\theta (x)}\psi ,}$

${\displaystyle {\bar {\psi }}\mapsto {\bar {\psi }}'=e^{-i\theta (x)}{\bar {\psi }},}$

где ${\displaystyle \theta (x)=\theta (t,{\textbf {x}})}$ является функцией пространства-времени, что делает его локальным преобразованием, в отличие от константы во всем пространстве-времени, которая была бы глобальным преобразованием. ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$ трансформация. Тонкий момент заключается в том, что глобальные преобразования могут возникать как локальные, когда функция ${\displaystyle \theta (x)}$ принимается постоянная функция.

Хорошо сформулированная теория должна быть инвариантной относительно таких преобразований. Именно это означает, что уравнения движения и действия (см. ниже) инвариантны. Для этого используются обычные производные ${\displaystyle \partial _{\mu }}$ необходимо заменить калибровочно-ковариантными производными ${\displaystyle D_{\mu }}$, определяется как

${\displaystyle D_{\mu }\psi =(\partial _{\mu }-ieA_{\mu })\psi }$

${\displaystyle D_{\mu }{\bar {\psi }}=(\partial _{\mu }+ieA_{\mu }){\bar {\psi }}}$

где 4-потенциал или калибровочное поле ${\displaystyle A_{\mu }}$ преобразуется при калибровочном преобразовании ${\displaystyle \theta }$ как

${\displaystyle A_{\mu }\mapsto A'_{\mu }=A_{\mu }+{\frac {1}{e}}\partial _{\mu }\theta }$ .

С помощью этих определений ковариантная производная преобразуется как

${\displaystyle D_{\mu }\psi \mapsto e^{i\theta }D_{\mu }\psi }$

или

${\displaystyle D_{\mu }D^{\mu }\psi -M^{2}\psi =0.}$

Поскольку неизмеренный ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$ симметрия присутствует только в комплексной теории Клейна – Гордона, эта связь и продвижение к калиброванной теории. ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$ симметрия совместима только с комплексной теорией Клейна-Гордона, но не с реальной теорией Клейна-Гордона.

В натуральных единицах и в основном с минусовой сигнатурой мы имеем$${\displaystyle \psi (x)=\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}e^{ip\cdot x}C(p)\delta ((p^{0})^{2}-E(\mathbf {p} )^{2}).}$$где ${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }}$ известен как тензор Максвелла, напряженность поля или кривизна в зависимости от точки зрения.

Эту теорию часто называют скалярной квантовой электродинамикой или скалярной КЭД, хотя все аспекты, которые мы здесь обсуждали, являются классическими.

Это можно распространить на неабелеву калибровочную теорию с калибровочной группой. ${\displaystyle G}$, где мы связываем скалярное действие Клейна–Гордона с лагранжианом Янга–Миллса . Здесь поле фактически векторнозначное, но все же описывается как скалярное поле: скаляр описывает его преобразование при преобразованиях пространства-времени, но не его преобразование под действием калибровочной группы.

Для конкретности фиксируем ${\displaystyle G}$ быть ${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$, особая унитарная группа для некоторых ${\displaystyle N\geq 2}$ . При калибровочном преобразовании ${\displaystyle U(x)}$, которую можно описать как функцию ${\displaystyle U:\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow {\text{SU}}(N),}$ скалярное поле ${\displaystyle \psi }$ трансформируется как ${\displaystyle \mathbb {C} ^{N}}$ вектор

${\displaystyle \psi (x)\mapsto U(x)\psi (x)}$

${\displaystyle \psi ^{\dagger }(x)\mapsto \psi ^{\dagger }(x)U^{\dagger }(x)}$ .

Ковариантная производная

${\displaystyle D_{\mu }\psi =\partial _{\mu }\psi -igA_{\mu }\psi }$

${\displaystyle D_{\mu }\psi ^{\dagger }=\partial _{\mu }\psi ^{\dagger }+ig\psi ^{\dagger }A_{\mu }^{\dagger }}$

где калибровочное поле или связь преобразуются как

${\displaystyle A_{\mu }\mapsto UA_{\mu }U^{-1}-{\frac {i}{g}}\partial _{\mu }UU^{-1}.}$

Это поле можно рассматривать как поле с матричным значением, которое действует в векторном пространстве. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{N}}$ .

Наконец, определяя напряженность или кривизну хромомагнитного поля,

${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }+g(A_{\mu }A_{\nu }-A_{\nu }A_{\mu }),}$

мы можем определить действие.$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x)=&\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\delta ((p^{0})^{2}-E(\mathbf {p} )^{2})\left(A(p)e^{-ip^{0}x^{0}+ip^{i}x^{i}}+B(p)e^{+ip^{0}x^{0}+ip^{i}x^{i}}\right)\theta (p^{0})\\=&\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\delta ((p^{0})^{2}-E(\mathbf {p} )^{2})\left(A(p)e^{-ip^{0}x^{0}+ip^{i}x^{i}}+B(-p)e^{+ip^{0}x^{0}-ip^{i}x^{i}}\right)\theta (p^{0})\\\rightarrow &\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\delta ((p^{0})^{2}-E(\mathbf {p} )^{2})\left(A(p)e^{-ip\cdot x}+B(p)e^{+ip\cdot x}\right)\theta (p^{0})\\\end{aligned}}}$$

В общую теорию относительности мы включаем эффект гравитации, заменяя частные производные ковариантными производными, и уравнение Клейна-Гордона становится (в сигнатуре в основном плюсами ) ^[10]

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=-g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\psi +{\dfrac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =-g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }(\partial _{\nu }\psi )+{\dfrac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi \\&=-g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\psi +g^{\mu \nu }\Gamma ^{\sigma }{}_{\mu \nu }\partial _{\sigma }\psi +{\dfrac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi ,\end{aligned}}}$

или эквивалентно,

${\displaystyle {\frac {-1}{\sqrt {-g}}}\partial _{\mu }\left(g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\partial _{\nu }\psi \right)+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0,}$

где g^αβ — обратный метрический тензор, который является гравитационным потенциальным полем, g — определитель метрического тензора, ∇_μ — ковариантная производная, а Γ^σ_μν — символ Кристоффеля, который представляет собой поле гравитационных сил .

С натуральными единицами это становится$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x)&=\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {\delta (p^{0}-E(\mathbf {p} ))}{2E(\mathbf {p} )}}\left(A(p)e^{-ip\cdot x}+B(p)e^{+ip\cdot x}\right)\theta (p^{0})\\&=\int \left.{\frac {\mathrm {d} ^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{2E(\mathbf {p} )}}\left(A(\mathbf {p} )e^{-ip\cdot x}+B(\mathbf {p} )e^{+ip\cdot x}\right)\right|_{p^{0}=+E(\mathbf {p} )}.\end{aligned}}}$$Это также допускает формулировку действия на пространственно-временном (лоренцевом) многообразии ${\displaystyle M}$ . Используя абстрактную индексную нотацию и в основном плюсовую подпись, это

${\displaystyle z=re^{i\phi }=x+iy\,\!}$

Для нового набора констант ${\displaystyle C(p)}$, тогда решение становится

${\displaystyle z=re^{i\phi }=x+iy\,\!}$

${\displaystyle z=re^{i\phi }=x+iy\,\!}$

Scalar QCD action ${\displaystyle z=re^{i\phi }=x+iy\,\!}$

${\displaystyle z=re^{i\phi }=x+iy\,\!}$

${\displaystyle z=re^{i\phi }=x+iy\,\!}$

${\displaystyle z=re^{i\phi }=x+iy\,\!}$

[[Категория:Математическая физика]][[Категория:Квантовая теория поля]][[Категория:Волны]][[Категория:Специальная теория относительности]][[Категория:Дифференциальные уравнения в частных производных]]

Ошибка в сносках^?: Для существующих тегов <ref> группы «nb» не найдено соответствующего тега <references group="nb"/>