Em geometria, o octógono é um polígono com oito lados (e portanto oito ângulos internos, oito vértices e oito ângulos externos).[1]
Um octógono regular tem todos os lados de mesmo tamanho e todos os ângulos com a mesma medida.
Construção de um octógono regular com régua e compassoeditar código-fonte
A animação mostra a construção de um octógono regular com régua e compassoA área de um octógono regular de lado 'a' é![{\displaystyle A=2a^{2}\cot {\frac {\pi }{8}}=2a^{2}({\sqrt {2}}+1)\simeq 4.82843a^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fa15a4a2da08c764e67aa8fbf4ed14e0857ee7d)
Sabendo o comprimento 'm' do apótema, e considerando o octógono composto por 8 triângulos isósceles, podemos recorrer a uma fórmula mais simples
![{\displaystyle A=8\times ({\frac {a\times m}{2}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a490675819506859ecaecd9d3e241c419751980)
![{\displaystyle ai={\frac {(8-\ 2).\ 180}{8}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecb6b7f991b95e244a4acd7ccc74f7f05cedc95c)
Logo:
![{\displaystyle ai={\frac {6.\ 180}{8}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bdf68e77585e66d9a0ea347c39d872e745684c8)
Então:
![{\displaystyle ai={\frac {1080}{8}}=135}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58dc636ad8c8b272de884d9c83d1d937aede060a)
Daí conclui-se que a medida do ângulo interno de um octógono regular é 135.
![{\displaystyle (n-\ 2).\ 180\rightarrow (8-\ 2).\ 180=\ 6.\ 180=\ 1080}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458cb4ab08958ab5c8d298d21522f12032615aac)
Daí conclui-se que a soma dos ângulos internos de um octógono regular é 1080.
![{\displaystyle ae={\frac {Se}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/743a0314cab2c381c065fd6e8d829be693f8799a)
Logo:
![{\displaystyle ae={\frac {360}{8}}=45}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cb9582f2e3813a06e6a8ec9023fa6b03bf48da3)
Daí conclui-se que a medida do ângulo externo de um octógono regular é 45.
![{\displaystyle ac={\frac {360}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0277f0e100354fc87df69b16a6f196fb098f76ab)
Então:
![{\displaystyle ac={\frac {360}{8}}=45}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21c69f2e3541bdd9f5f27a2acb01aa8a4f94c879)
Assim, conclui-se que a medida do ângulo central de um octógono regular é 45.
![{\displaystyle d={\frac {n.\ (n-\ 3)}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78b1a951b56dc85c14d0f6474e3548ec186ffd17)
Então:
![{\displaystyle d={\frac {8.\ (8-\ 3)}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b68a4f5ebaab7166a930ab9c5646600f223040a)
Logo:
![{\displaystyle d={\frac {8.\ 5}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7721451b239d2c7ce5f5273747da0b43d583e205)
Então:
![{\displaystyle d={\frac {40}{2}}=20}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b0269788fc6bca528b5217c7ce3b9722c6faa8f)
Então, conclui-se que o número de diagonais de um octógono regular é 20.
Referências