-grupa (także grupa pierwsza, grupa
-pierwsza) – grupa, której rząd jest równy
gdzie
jest liczbą pierwszą a
jest dodatnią liczbą całkowitą.
Konkretne wartości
podstawia się do nazwy, np. dla
mówi się o 11-grupie.
Podgrupę grupy
nazywa się
-podgrupą, jeżeli jest ona
-grupą. Podgrupę
grupy skończonego rzędu
nazywa się
-podgrupą Sylowa, jeśli jest największego możliwego rzędu. Z twierdzenia Sylowa wynika, że jeśli
gdzie
to ![{\displaystyle |H|=p^{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df4be8934873eb7c989f68952c7315782dec59fd)
- Niech
będzie grupą skończoną oraz
gdzie
są pewnymi liczbami pierwszymi. Jeżeli
nie zawiera elementu rzędu
to prawdziwe jest jedno z poniższych stwierdzeń:
-podgrupy Sylowa lub
-podgrupy Sylowa grupy
są abelowe.
oraz
lub
gdzie
jest grupą monstrum.
Twierdzenie o centrum p-grupyedytuj kod
Centrum
-grupy jest nietrywialne, to znaczy, że
gdzie
jest elementem neutralnym
-grupy (jak wiadomo,
).
Dowód. Niech
będzie
-grupą, tj.
dla pewnej liczby
oraz niech funkcja
![{\displaystyle \phi \colon G\times G\to G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b3816abd1965813e41579f9a96179fad5c1c059)
dane wzorem
![{\displaystyle \phi (g,x)=gxg^{-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49a4969e3947ea7eb319c6c03f200fb89a491079)
Odwzorowanie
jest działaniem grupy
na sobie (czyli na zbiorze
).
Ponieważ
![{\displaystyle x\in Z(G)\iff \forall _{g\in G}gxg^{-1}=x\iff \forall _{g\in G}\phi (g,x)=x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a869f78942239edc22a818bcf1811457e1a461e)
więc orbita
elementu
jest jednoelementowa wtedy i tylko wtedy, gdy
jest elementem centrum ![{\displaystyle Z(G).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/152ff7b6b4ee34acee4342bca5ab439412526021)
Jeśli orbita
-grupy
ma więcej niż jeden element, to liczba jej elementów jest podzielna przez ![{\displaystyle p{:}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afcd97e5e457304da3df7f63f2338954fe294282)
![{\displaystyle \forall _{x\in G}|G(x)|>1\Rightarrow p||G(x)|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/948ba9e929116057ccc13b2f1a5d9873aa28bd9a)
Istotnie, stabilizator
jest wtedy pogrupą
i jego rząd dzieli rząd G (wniosek z twierdzenia Lagrange’a), czyli
gdzie
(bo gdyby
to orbita byłaby jednoelementowa). Wówczas
gdzie
czyli ![{\displaystyle p||G(x)|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/978a9536e3b5759330e1f2863e2cf884c75c2ae0)
jest sumą wszystkich orbit, więc:
![{\displaystyle G=\bigcup G(x)=\bigcup _{|G(x)|=1}G(x)\cup \bigcup _{|G(x)|>1}G(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/973d65da8c7ffa6202bfe1a1335afe4ea06e4c44)
Stąd
![{\displaystyle p^{k}=|G|=\sum \limits _{|G(x)|=1}|G(x)|+\sum \limits _{|G(x)|>1}|G(x)|=|Z(G)|+p\cdot s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/694a9b535affc080eab842f71d1d116ccafc48b5)
dla pewnego s. Stąd
ale
bo
więc ![{\displaystyle |Z(G)|\geqslant p.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a56d36a763e73f3144dea12a42a4896d6bf225ce)
- A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005.
- Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, ISBN 83-904564-9-4.
- G. Malle, A. Moret’o, G. Navarro, Element orders and Sylow structure of finite groups, Math. Z. 252, No.1, 223-230 (2006); ISSN 0025-5874, ISSN 1432-1823.