Meetkundige reeks
- Artikel
- Overleg
Hulpmiddelen
Algemeen
Afdrukken/exporteren
In andere projecten
Een meetkundige reeks in de wiskunde is een reeks waarvan elke term kan worden gevonden door de daaraan voorafgaande term te vermenigvuldigen met een factor . De termen van de reeks vormen dus een meetkundige rij.
De algemene vorm van de -de partieelsom (of
-de partiële som; dat is de som van de eerste
termen van de reeks) is:
behalve als is, want dan is de som gelijk aan
.
Bovenstaande relatie kan als volgt worden aangetoond.
De -de partieelsom
is:
En dus geldt ook, door beide leden met te vermenigvuldigen:
Aftrekking van de linker- en rechterleden van de laatste twee vergelijkingen geeft:
zodat:
Als de gehele reeks wordt beschouwd, dus met oneindig veel termen en met , dan is de reeks convergent. Gevolg:
Immers, indien is, dan gaat de term
in de teller van
-de partieelsom naar nul als
naar oneindig gaat.
Als is, dan is de reeks divergent.
De formules gelden ook met complexe getallen en
.
Zowel het bewijs van het kenmerk van d'Alembert als van het kenmerk van Cauchy is gebaseerd op de convergentie-eigenschap van meetkundige reeksen. In beide gevallen wordt de te onderzoeken reeks vergeleken met een meetkundige reeks.