베티 수(영어: Betti number)는 위상 공간의 호몰로지 군의 계수다. 공간의 위상적 특성을 나타내는 수열의 하나다. 기호는
며, 0이거나, 양의 정수이거나,
이다. 좀 더 다루기 쉬운 (콤팩트 공간 또는 CW 복합체 등) 경우에는 베티 수는 모두 유한하며, 어느
부터
에 대하여
이다.
정의
위상 공간
, 음이 아닌 정수
, 체
가 주어지면,
번째 베티 수
는
번째 특이 호몰로지 공간
의 (
에 대한 벡터 공간으로서의) 차원이다. 식으로 쓰면 다음과 같다.
![{\displaystyle b_{k}(X,\mathbb {F} )=\dim H_{k}(X;\mathbb {F} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05299afba3b9312e1d7c440b7b71e254737c7cd9)
일반적으로,
가 주어지지 않았을 때에는
(유리수)를 의미하는 것이다. 유리수에 대한 베티 수는 정수에 대한 호몰로지 공간
의 계수와 같다.
의 표수가 0이면 베티 수는 항상 유리수에 대한 베티 수와 같지만, 표수가 유한한 경우 달라질 수 있다. 만약
가 주어지지 않으면 암묵적으로
이다.
콤팩트 공간이나 CW 복합체의 베티 수는 어떤 유한한
이상으로는
에 대하여
이다. 따라서 베티 수를 생성함수로 나타낼 수 있는데, 이를 푸앵카레 다항식(영어: Poincaré polynomial)이라 한다. 즉 푸앵카레 다항식
는 다음을 만족한다.
![{\displaystyle P(z)=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}z^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13bc73788bcc8dfee87fb10bc7db68b60070c996)
무한차원에서는 이를 일반화하여 푸앵카레 급수(영어: Poincaré series)를 정의할 수 있다.
성질
거칠게 말해서,
일 때 베티 수
는
차원 "구멍"의 수를 나타내는 것으로 해석할 수 있다. 예를 들어 구
의 베티 수는
일 때에만 1이고 나머지 경우엔 0이다.
유한한 CW 복합체
의 경우 오일러 지표와 베티 수는 다음과 같은 관계를 가진다.
- 임의의 체
에 대하여, ![{\displaystyle \chi (K)=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}b_{i}(K,\mathbb {F} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/442e7788a808ecfc004eff9bc54e35e4ba3f4587)
여기서
는 오일러 지표이다.
임의의 (베티 수열이 유한한) 위상 공간
와
에 대하여 그 곱공간
의 푸앵카레 다항식은 각 공간의 푸앵카레 다항식의 곱이다.
![{\displaystyle P_{X\times Y}(z)=P_{X}(z)P_{Y}(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01be70d95e1a170b2d49245d8725ae777364b600)
마찬가지로,
와
의 분리합집합
의 푸앵카레 다항식은 각 공간의 푸앵카레 다항식의 합이다.
![{\displaystyle P_{X\sqcup Y}(z)=P_{X}(z)+P_{Y}(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f01f17b2e9d26fa23d199fadbdf73db4d13e6b8)
닫힌 n차원 가향 다양체
의 경우, 베티 수는 다음 관계를 만족한다.
![{\displaystyle b_{k}(X)=b_{n-k}(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32b543ece227677b0469be7ac456fcba0894e3d5)
이는 푸앵카레 쌍대성
으로부터 유도할 수 있다.
예
차원 초구
의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.
![{\displaystyle P_{\mathbb {S} ^{n}}(z)=1+z^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5754b0d5073db4783da53a1c046a9e8e96b4a27)
차원 원환면
의 푸앵카레 다항식은 원의 푸앵카레 다항식으로부터 다음과 같다.
![{\displaystyle P_{\mathbb {S} ^{n}}(z)=(1+z)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d488d6168cdf21d8003ab04f6924b1b060bf2dfa)
차원 실수 사영 공간
의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.
![{\displaystyle P_{\mathbb {RP} ^{n}}(z)={\begin{cases}1&2\mid n\\1+x^{n}&2\nmid n\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a41f63fe9fabef2fcc17fba1565038b8f20f7aa4)
무한 차원 실수 사영 공간
의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.
![{\displaystyle P_{\mathbb {RP} ^{n}}(z)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/912da4d35c2a19fbd8ed33b6478c5d1df5e41e8d)
차원 복소수 사영 공간
의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.
![{\displaystyle P_{\mathbb {cP} ^{n}}(z)=1+z^{2}+\cdots +z^{2n}={\frac {1-z^{2n+2}}{1-z^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0871b802b5568bcc785d06ab25e034c36e1b491e)
무한 차원 복소수 사영 공간
의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.
![{\displaystyle P_{\mathbb {CP} ^{n}}(z)=1+z^{2}+z^{4}+\cdots ={\frac {1}{1-z^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/207adc2867fb131500b9c56443d82c8cb178a2ee)
종수
의 콤팩트 유향 곡면의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.
![{\displaystyle P_{\Sigma _{g}}(z)=1+2gz+z^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf06871789a937b09ba69f1eb825b15b7e1de80c)
K3 곡면의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.
![{\displaystyle P_{\text{K3}}(z)=1+22z^{2}+z^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/031d2471dddd988fdebeb82d3bd322178f6876a7)
리 군
콤팩트 단일 연결 단순 리 군
의 푸앵카레 다항식들은 다음과 같은 꼴이다.
![{\displaystyle P_{G}(z)=\prod _{n\in N(G)}(1+z^{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12eaed74f950dd5e51cb560d5060f1cbaf1cdf12)
여기서
는 원시 지수(영어: primitive exponent)라고 하며, 다음과 같다.
단순 리 군 | 원시 지수 | OEIS |
---|
![{\displaystyle \operatorname {SU} (n+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20e662ba71303e61a1b6859d7b82d714c19059fd) | ![{\displaystyle 3,5,\dots ,2n+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23c14d662a61f78717b15218bb22ec70cc010340) | |
![{\displaystyle \operatorname {Spin} (2n+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee25a643bc794f5ce0eaad1eac27c5e3b44769da) | ![{\displaystyle 3,7,\dots ,4n-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dae077bc070b97374e5971ee31211e11f73077dd) | |
![{\displaystyle \operatorname {USp} (2n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e06eff446f3c15ce566f44e25f9f8880ccc623f3) | ![{\displaystyle 3,7,\dots ,4n-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dae077bc070b97374e5971ee31211e11f73077dd) | |
![{\displaystyle \operatorname {Spin} (2n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8bb79bfe0516a41ac01d2d58c49635a0a88f9e5) | ![{\displaystyle 3,7,\dots ,4n-5,2n-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d494530dfede5c8967cf689daebefa74ebcbef25) | |
![{\displaystyle G_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/645011b0c6933a02f5f7d84624f78220d747427e) | 3, 11 | |
![{\displaystyle F_{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8718a2df1e70bea3cd21ab9e0cd45dc354818451) | 3, 11, 15, 23 | |
![{\displaystyle E_{6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fe9319a2bccb13e55ac59551d91907827b3fde6) | 3, 9, 11, 15, 17, 23 | (OEIS의 수열 A106373) |
![{\displaystyle E_{7}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5ee54d48879bea60bf535140cd2c6a1bd296b4d) | 3, 11, 15, 19, 23, 27, 35 | (OEIS의 수열 A106374) |
![{\displaystyle E_{8}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48479e96d90b4cfabc7784106cc3cfff907dda34) | 3, 15, 23, 27, 35, 39, 47, 59 | (OEIS의 수열 A106403) |
역사
앙리 푸앵카레가 엔리코 베티의 이름을 따서 명명하였다.
같이 보기
외부 링크