分岐群 (数学)

付値の分岐理論（ramification theory of valuations）は、体 K の付値 v の K の拡大体 L への延長の集合を研究する数学の理論。デデキント環の分岐理論の一般化である^[1][2]。

L/K がガロア拡大のとき、付値の延長からなる集合の構造は詳しく知ることができる。

(K, v) を付値体、L を K の有限次ガロア拡大とする。S_v を v の L への延長の同値類からなる集合とし、G を L の K 上のガロア群とする。このとき、G は S_v に σ[w] = [w ∘ σ] で作用する。つまり、w を同値類 [w] ∈ S_v の代表元としたとき、[w] の行き先を自己同型 σ : L → L と w の合成が定める同値類とすることにより作用を定義する。これは [w] の代表元 w の取り方によらない。この作用は推移的である。

v の L への延長 w を１つとる。w の分解群（decomposition group of w）とは、[w] の固定部分群 G_w（同値類 [w] ∈ S_v を固定する G の元全体からなる部分群）のことを言う。

R_w を w についての付値環、m_w をその極大イデアルとする。w の惰性群（inertia group of w）とは、G_w の元 σ で R_w の全ての元 x に対して σx ≡ x (mod m_w)が成り立つもの全体からなる部分群 I_w のことである。言い換えると、I_w は分解群の要素で w に関する剰余体に自明に作用するもの全体である。これは G_w の正規部分群である。

被約分岐指数（英語版）^{[訳語疑問点]} e(w/v) は w によらないので、e(v) と表す。同様に、剰余次数（または相対次数、relative degree）f(w/v) も w によらないので、f(v) と表す。

局所体^[3]の有限次ガロア拡大 ${\displaystyle L/K}$ のガロア群 ${\displaystyle G}$ の詳しい理解を可能にしてくれるものが分岐群である。${\displaystyle K}$ の整数環を ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ と置き、${\displaystyle L}$ の付値、その整数環、その極大イデアルを、それぞれ ${\displaystyle w,{\mathcal {O}}_{L},{\mathfrak {p}}}$ とする。ヘンゼルの補題により、ある ${\displaystyle \alpha \in L}$ を使って ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}={\mathcal {O}}_{K}[\alpha ]}$ と書くことができる（これは原始元定理より強い主張である）^[4]。整数 ${\displaystyle i\geq -1}$ に対して、${\displaystyle G_{i}}$ を次の同値な条件を満たす ${\displaystyle s\in G}$ 全体の集合として定義する。

• (i) ${\displaystyle s}$ は ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {p}}^{i+1}}$ に自明に作用する

• (ii) 全ての ${\displaystyle x\in {\mathcal {O}}_{L}}$ について ${\displaystyle w(s(x)-x)\geq i+1}$ が成り立つ

• (iii) ${\displaystyle w(s(\alpha )-\alpha )\geq i+1}$

この群 ${\displaystyle G_{i}}$ のことを ${\displaystyle i}$ 次分岐群（${\displaystyle i}$ -th ramification group）という。これらは減少フィルトレーション（英語版）

${\displaystyle G_{-1}=G\supset G_{0}\supset G_{1}\supset \dots \{*\}}$

を定める。(i) より ${\displaystyle G_{i}}$ は正規であることが分かり、(iii) より十分大きな ${\displaystyle i}$ に対して自明になることが分かる。${\displaystyle G_{0}}$ は、ガロア拡大での素イデアルの分解との関係に鑑み、慣例的に ${\displaystyle G}$ の惰性部分群（英語版）と呼ばれている。${\displaystyle G_{1}}$ は ${\displaystyle G}$ の野生分岐群（英語版）（または暴分岐群、wild inertia subgroup）、商 ${\displaystyle G_{0}/G_{1}}$ は馴商^{[訳語疑問点]}（tame quotient）と呼ばれている。

ガロア群 ${\displaystyle G}$ とその部分群 ${\displaystyle G_{i}}$ はこのフィルトレーションと商を使って調べることができる。次が成り立つ。

• ${\displaystyle G/G_{0}=\operatorname {Gal} (l/k)}$ が成り立つ。${\displaystyle l,k}$ は ${\displaystyle L,K}$ の剰余体（有限体である）^[5]。

• ${\displaystyle G_{0}=1\Leftrightarrow L/K}$ は不分岐拡大

• ${\displaystyle G_{1}=1\Leftrightarrow L/K}$ は従順分岐（英語版）（tamely ramified,馴分岐とも。分岐指数は剰余体の標数と互いに素であること）

${\displaystyle i\geq 0}$ に対して ${\displaystyle G_{i}=(G_{0})_{i}}$ が成り立つので、分岐群の研究は完全分岐の場合に帰着される。

${\displaystyle G}$ 上の関数 ${\displaystyle i_{G}}$ を、${\displaystyle s\in G}$ に対して ${\displaystyle i_{G}(s)=w(s(\alpha )-\alpha )}$ として定義する。先ほどの (ii) から ${\displaystyle i_{G}}$ は ${\displaystyle \alpha }$ の取り方によらない。また、フィルトレーション ${\displaystyle G_{i}}$ の研究は本質的に ${\displaystyle i_{G}}$ の研究と同値である^[6]。${\displaystyle s,t\in G}$ に対して、${\displaystyle i_{G}}$ は次を満たす。

• ${\displaystyle i_{G}(s)\geq i+1\Leftrightarrow s\in G_{i}}$
• ${\displaystyle i_{G}(tst^{-1})=i_{G}(s)}$
• ${\displaystyle i_{G}(st)\geq \min\{i_{G}(s),i_{G}(t)\}}$

${\displaystyle \pi }$ を ${\displaystyle L}$ の素元とすると、${\displaystyle s\mapsto s(\pi )/\pi }$ は単射 ${\displaystyle G_{i}/G_{i+1}\to U_{L,i}/U_{L,i+1},i\geq 0}$ を誘導する。ここで、${\displaystyle U_{L,0}={\mathcal {O}}_{L}^{\times },U_{L,i}=1+{\mathfrak {p}}^{i}}$ である。この写像は素元の取り方によらない^[7]。これを使うと次がわかる ^[8]。

• ${\displaystyle G_{0}/G_{1}}$ は位数が ${\displaystyle p}$ と互いに素な巡回群

• ${\displaystyle G_{i}/G_{i+1}}$ は位数が ${\displaystyle p}$ の巡回群の積

特に、${\displaystyle G_{1}}$ は p 群で、${\displaystyle G_{0}}$ は可解群である。${\displaystyle G/G_{0}}$ は有限体のガロア群と同型であったので、特にアーベル拡大である。したがって（局所体の任意のガロア拡大のガロア群としてとっていた） ${\displaystyle G}$ は可解群である。

分岐群を使って、体拡大 ${\displaystyle L/K}$ やその部分拡大の共役差積（英語版） ${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{L/K}}$ を計算することもできる^[9]。次が成り立つ

${\displaystyle w({\mathfrak {D}}_{L/K})=\sum _{s\neq 1}i_{G}(s)=\sum _{i=0}^{\infty }(|G_{i}|-1)}$

${\displaystyle H}$ を ${\displaystyle G}$ の正規部分群とすると、${\displaystyle \sigma \in G}$ に対して ${\displaystyle i_{G/H}(\sigma )={1 \over e_{L/K}}\sum _{s\mapsto \sigma }i_{G}(s)}$ が成り立つ^[10]。

これと先ほどの式をあわせると、${\displaystyle H}$ に対応する部分拡大 ${\displaystyle F/K}$ に対して

${\displaystyle v_{F}({\mathfrak {D}}_{F/K})={1 \over e_{L/F}}\sum _{s\not \in H}i_{G}(s)}$

が成り立つ。

${\displaystyle s\in G_{i},t\in G_{j},i,j\geq 1}$ とすると、${\displaystyle sts^{-1}t^{-1}\in G_{i+j+1}}$ が成り立つ^[11]。ラザール（英語版）の言葉を使うならば、これはリー代数 ${\displaystyle \operatorname {gr} (G_{1})=\sum _{i\geq 1}G_{i}/G_{i+1}}$ がアーベルであるということになる。

${\displaystyle \zeta }$ を1の原始 ${\displaystyle p^{n}}$ 乗根とする。円分拡大 ${\displaystyle K_{n}:=\mathbf {Q} _{p}(\zeta )/\mathbf {Q} _{p}}$ の分岐群は次のように具体的に計算できる^[12]。

${\displaystyle G_{s}=Gal(K_{n}/K_{e})}$

ここで e は ${\displaystyle p^{e-1}\leq s<p^{e}}$ となるものである。

K を Q₂ 上 ${\displaystyle x_{1}={\sqrt {2+{\sqrt {2}}\ }}}$ で生成される拡大体とする。x₁ の共役は ${\displaystyle x_{2}={\sqrt {2-{\sqrt {2}}\ }}}$ と x₃ = −x₁ と x₄ = −x₂ である。

簡単な計算からこれらの元の任意の2つの商は単数であることが分かる。したがってこれらは全て同じイデアルを生成する。そのイデアルを π と置く。${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ は π² を生成し、(2)=π⁴ である。

x₁ − x₃ = 2x₁ で、これは π⁵ に入る。

${\displaystyle x_{1}-x_{2}={\sqrt {4-2{\sqrt {2}}\,\,}}}$ は π³ に入る。

計算方法は色々あるが、K のガロア群は位数 4 の巡回群 ${\displaystyle C_{4}}$ であることが分かる^[13]。そして、

${\displaystyle G_{0}=G_{1}=G_{2}=C_{4}}$

かつ ${\displaystyle G_{3}=G_{4}=(13)(24)}$ である^[14]。

${\displaystyle w({\mathfrak {D}}_{K/Q_{2}})=3+3+3+1+1=11}$ なので、共役差積は ${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{K/Q_{2}}=\pi ^{11}}$ となる。

x₁ は x⁴ − 4x² + 2 を満たし、これの判別式は 2048 = 2¹¹ である。

${\displaystyle u\geq -1}$ である実数 ${\displaystyle u}$ に対して、${\displaystyle G_{u}}$ を ${\displaystyle i\geq u}$ である最小の整数 i の ${\displaystyle G_{i}}$ として定義する。${\displaystyle s\in G_{u}\Leftrightarrow i_{G}(s)\geq u+1}$ となるように定義する、と言ってもいい。関数 ${\displaystyle \phi }$ を

${\displaystyle \phi (u)=\int _{0}^{u}{dt \over (G_{0}:G_{t})}}$

で定義する^[15]。ここで、${\displaystyle t=-1}$ に対しては ${\displaystyle (G_{0}:G_{t})}$ は ${\displaystyle (G_{-1}:G_{0})^{-1}}$ とし、${\displaystyle -1<t\leq 0}$ に対しては ${\displaystyle 1}$ とする^[16]。定義により ${\displaystyle -1\leq u\leq 0}$ に対して ${\displaystyle \phi (u)=u}$ が成り立つ。${\displaystyle \phi }$ が連続かつ狭義単調増加であることはすぐ分かり、したがって連続な逆関数 ${\displaystyle \psi }$ であって ${\displaystyle [-1,\infty )}$ 上定義されたものが存在する。${\displaystyle G^{v}=G_{\psi (v)}}$ と定義する。${\displaystyle G^{v}}$ を第 v 上付き分岐群（v-th ramification group in upper numbering）という。言い換えれば ${\displaystyle G^{\phi (u)}=G_{u}}$ である。${\displaystyle G^{-1}=G,G^{0}=G_{0}}$ が成り立つ。上付きの添字は商をとる操作と整合するよう定義されており^[17]、${\displaystyle H}$ が ${\displaystyle G}$ の正規部分群なら、全ての ${\displaystyle v}$ に対し

${\displaystyle (G/H)^{v}=G^{v}H/H}$

が成り立つ。

（一方、下付きの添字は部分群に行く操作と整合する。）

エルブランの定理は、下付き分岐群について ${\displaystyle G_{u}H/H=(G/H)_{v}}$ が成り立ち（${\displaystyle H}$ に対応する部分拡大を ${\displaystyle L/F}$ とし、${\displaystyle v=\phi _{L/F}(u)}$ とおいている）、上付き分岐群について ${\displaystyle G^{u}H/H=(G/H)^{u}}$ が成り立つという主張である^[18][19]。これから、局所体の絶対ガロア群をはじめとする無限次ガロア拡大に対して、有限次部分拡大についての分岐群の逆系を使って、上付き分岐群を定義することが可能になる。

アーベル拡大の上付き分岐群について、ハッセ・アルフの定理（英語版）という定理が知られている。これは、${\displaystyle G}$ がアーベルならフィルトレーション ${\displaystyle G^{v}}$ の跳躍は整数、つまり ${\displaystyle \phi (i)}$ が整数でなかったら ${\displaystyle G_{i}=G_{i+1}}$ が成り立つという定理である^[20]。

上付き分岐群によるフィルトレーションは、単数群によるノルム剰余群（norm residue group）のフィルトレーションと、アルティン同型写像のもとで両立する。すなわち、同型写像

${\displaystyle G(L/K)^{\mathrm {ab} }\leftrightarrow K^{*}/N_{L/K}(L^{*})}$

による ${\displaystyle G^{n}(L/K)}$ の像は、ちょうど

${\displaystyle U_{K}^{n}/(U_{K}^{n}\cap N_{L/K}(L^{*}))}$

になる^[21]。

• 付値の分岐理論（英語版）
• 付値
• 付値体
• 局所体
• ヘンゼル環

• 服部新 (2007年12月3日). “分岐理論と有限平坦Galois表現” (pdf). 2021年10月24日閲覧。
• B. Conrad, Math 248A. Higher ramification groups
• Fröhlich, A.; Taylor, M.J. (1991). Algebraic number theory. Cambridge studies in advanced mathematics. 27. Cambridge University Press. ISBN 0-521-36664-X. Zbl 0744.11001 
• Neukirch, Jürgen (1999), Algebraic Number Theory, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 322, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65399-8, Zbl 0956.11021, MR1697859 
• Serre, Jean-Pierre (1967). “VI. Local class field theory”. In Cassels, J.W.S.; Fröhlich, A.. Algebraic number theory. Proceedings of an instructional conference organized by the London Mathematical Society (a NATO Advanced Study Institute) with the support of the International Mathematical Union. London: Academic Press. pp. 128–161. Zbl 0153.07403 
• Serre, Jean-Pierre (1979). Local Fields. Graduate Texts in Mathematics. 67. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90424-7. MR0554237. Zbl 0423.12016 
• Snaith, Victor P. (1994). Galois module structure. Fields Institute monographs. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0264-X. Zbl 0830.11042