量子群の発見は全く予想されていなかった、というのも、長い間、コンパクト群や半単純リー環は「堅い」対象である、言い換えると、「変形」(deform) できないと思われていたからだ。量子群の背後にある思想の1つは、ある意味で同値だがより大きい構造、すなわち群環や普遍包絡環を考えれば、群あるいは包絡環は「変形」できる(変形すると群や包絡環ではなくなるが)ということである。正確には、変形は可換とも余可換とも限らないホップ代数の圏において達成される。変形した対象を、アラン・コンヌ (Alain Connes) の非可換幾何の意味での「非可換空間」上の関数の代数として考えることができる。しかしながら、この直観は、Leningrad School (Ludwig Faddeev, Leon Takhtajan, Evgenii Sklyanin, Nicolai Reshetikhin and Vladimir Korepin) と、Japanese School による関連した研究によって発展された、量子ヤン・バクスター方程式(英語版)と量子逆散乱法(英語版)の研究において、量子群の特定のクラスが有用性を既に証明された後に来た[1]。量子群の第二の双クロス積(英語版)のクラスの背後にある直観は異なり、量子重力へのアプローチとして自己双対な対象の研究から来た[2]。
表現の1つの重要なタイプはウェイト表現であり、対応する加群はウェイト加群と呼ばれる。ウェイト加群はウェイトベクトルを基底に持つ加群である。ウェイトベクトルは 0 でないベクトル v であって、すべての λ に対して kλ ⋅ v = dλv となるものである。ここで dλ は各ウェイト λ に対する複素数であって、以下を満たす。
d0 = 1,
すべてのウェイト λ, μ に対して、dλ dμ = dλ + μ.
ウェイト加群はすべての ei と fi の作用が局所冪零である(すなわち加群の任意のベクトル v に対して、ある正の整数 k(v に依存してよい)が存在して、すべての i に対して となる)とき、可積分であると呼ばれる。可積分な加群の場合には、ウェイトベクトルに付随する複素数 dλ は を満たす。ただし ν はウェイト格子の元で、cλ は次のような複素数である。
すべてのウェイト λ, μ に対して、
すべての i に対して、
特に興味があるのは最高ウェイト表現と対応する最高ウェイト加群である。最高ウェイト加群は以下を満たすウェイトベクトル v によって生成される加群である:すべてのウェイト μ に対して kλ ・ v = dλv, すべての i に対して ei ・ v = 0. 同様に、量子群は最低ウェイト表現と最低ウェイト加群をもつことができる。最低ウェイト加群とは以下を満たすウェイトベクトル v によって生成される加群である:すべてのウェイト λ に対して kλ ・ v = dλv, すべての i に対して fi ・ v = 0.
ベクトル v がウェイト ν を持つことを、ウェイト格子のすべての λ に対して が成り立つことと定義する。
G がカッツ・ムーディ代数であれば、Uq(G) の最高ウェイト ν の任意の既約最高ウェイト表現において、ウェイトの重複度は同じ最高ウェイトを持つ U(G) の既約表現におけるそれらの重複度に等しい。最高ウェイトが優整であれば、既約表現の weight spectrum は G のワイル群の下で不変であり、表現は可積分である。(ウェイト μ が優整とは、μ が次の条件を満たすことをいう: はすべての i に対して非負の整数である。)
逆に、最高ウェイト加群が可積分であれば、その最高ウェイトベクトル v は を満たす。ただし cλ ・ v = dλv は以下を満たす複素数である:
すべてのウェイト λ, μ に対して、
すべての i に対して、
そして、ν は優整である。
すべてのホップ代数の場合がそうであるように、2つの加群のテンソル積はまた加群である。Uq(G) の元 x とそれぞれの加群のベクトル v, w に対して、
よって であり、余積が Δ1 の場合には、 および である。
上で記述された可積分最高ウェイト加群は、1次元加群(すべての λ に対して kλ = cλ で、すべての i に対して ei = fi = 0)と、0 でないベクトル v0 であってすべてのウェイト λ に対して とすべての i に対して を満たすものによって生成された最高ウェイト加群の、テンソル積である。
G が(カッツ・ムーディ代数の特別な場合としての)有限次元リー環である場合には、優整最高ウェイトを持つ既約表現も有限次元である。
2002年、H.-J. Schneider と N. Andruskiewitsch[3]は、とくに上記の Uq(g) の有限商として、(素数 2, 3, 5, 7 を除いて)余根基がアーベル群の点状ホップ代数の長年に渡る分類の努力を終えた。通常の半単純リー環のときと同じようにそれらは E たち(ボレルパート)と双対の F たちと K たち(カルタン部分環)に分解する:
ここで、古典論と同様、V は E たちで張られる n 次元の組みひもベクトル空間(英語版) であり、σ(いわゆるコサイクルツイスト)は E たちと F たちの間の非自明な linking をつくる。古典論とは対照的に、2つよりも多くの linked components が現れるかもしれないことに注意。量子ボレル代数の役割は組みひもベクトル空間のニコルス代数(英語版) に取って代わられる。
(ただし C(G) ⊗ C(G) はC*環のテンソル積、つまり、C(G) と C(G) の代数的なテンソル積の完備化)であって、すべての f ∈ C(G) とすべての x, y ∈ G に対して Δ(f)(x, y) = f(xy)(ただしすべての f, g ∈ C(G) とすべての x, y ∈ G に対して (f ⊗ g)(x, y) = f(x)g(y))であるものが存在する。また、乗法的な線型写像
κ: C(G) → C(G)
であって、すべての f ∈ C(G) とすべての x ∈ G に対して κ(f)(x) = f(x−1) となるものが存在する。これは G が有限でない限り真に C(G) をホップ代数にはしない。一方、G の有限次元表現はホップ *-代数でもある C(G) の *-部分代数を生成するのに使うことができる。具体的には、 が G の n 次元表現であれば、すべての i, j に対して uij ∈ C(G) であり
である。すべての i, j に対する uij とすべての i, j に対する κ(uij) によって生成された * 代数はホップ * 代数であることが従う:余単位はすべての i, j に対して ε(uij) = δij(ただし δij はクロネッカーのデルタ)によって決定され、antipode は κ で、単位は
によって与えられる。
一般化として、コンパクト行列量子群は対 (C, fu) として定義される、ただし C は C* 代数で、 は C の元を成分に持つ行列であって以下を満たす。
u の要素によって生成される C の * 部分代数 C0 は C において稠密である。
余積 Δ: C → C ⊗ C(ただし C ⊗ C は C* 代数のテンソル積、つまり C と C の代数的テンソル積の完備化)と呼ばれる C* 代数準同型であってすべての i, j に対して
Whereas compact matrix pseudogroups are typically versions of Drinfeld–Jimbo quantum groups in a dual function algebra formulation, with additional structure, the bicrossproduct ones are a distinct second family of quantum groups of increasing importance as deformations of solvable rather than semisimple Lie groups. They are associated to Lie splittings of Lie algebras or local factorisations of Lie groups and can be viewed as the cross product or Mackey quantisation of one of the factors acting on the other for the algebra and a similar story for the coproduct Δ with the second factor acting back on the first. The very simplest nontrivial example corresponds to two copies of R locally acting on each other and results in a quantum group (given here in an algebraic form) with generators p, K, K−1, say, and coproduct
where h is the deformation parameter. This quantum group was linked to a toy model of Planck scale physics implementing Born reciprocity when viewed as a deformation of the Heisenberg algebra of quantum mechanics. Also, starting with any compact real form of a semisimple Lie algebra g its complexification as a real Lie algebra of twice the dimension splits into g and a certain solvable Lie algebra (the Iwasawa decomposition), and this provides a canonical bicrossproduct quantum group associated to g. For su(2) one obtains a quantum group deformation of the Euclidean group E(3) of motions in 3 dimensions.