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数学 における消散作用素 (しょうさんさようそ、英 : dissipative operator )とは、バナッハ空間 X に値を取り、すべての λ > 0 および x ∈ D (A ) に対して
‖ ( λ I − A ) x ‖ ≥ λ ‖ x ‖ {\displaystyle \|(\lambda I-A)x\|\geq \lambda \|x\|} が成立するような、X の線形部分空間 D (A ) 上で定義される線形作用素 A のことを言う。消散作用素が極大消散 (maximally dissipative)であるとは、すべての λ > 0 に対して作用素 λI − A が全射 であることを言う。
極大消散作用素が縮小半群 の生成素として特徴づけられるルーマー-フィリップスの定理 において、消散作用素の概念は重要な役割を担う。
性質 消散作用素には次に述べる性質が存在する[1] 。
すべての λ > 0 に対して λI − A は単射 であり、また λI − A の値域 に含まれるすべての z に対して ‖ ( λ I − A ) − 1 z ‖ ≤ 1 λ ‖ z ‖ {\displaystyle \|(\lambda I-A)^{-1}z\|\leq {\frac {1}{\lambda }}\|z\|} が成立する。 作用素 λI − A がある λ > 0 に対して 全射 であることと、すべての λ > 0 に対して全射であることは同値である。そのような場合、(0, ∞) ⊂ ρ (A ) が成立する(ここで ρ (A ) は A のレゾルベント集合 を表す)。 A が閉作用素 であることと、ある λ > 0 に対して(すべての λ > 0 に対する場合も同様) λI − A の値域が閉であることは同値である。同値な特徴付け X の双対空間 X' の部分集合としての、x ∈ X の双対集合(duality set)を
J ( x ) := { x ′ ∈ X ′ : ‖ x ′ ‖ X ′ 2 = ‖ x ‖ X 2 = ⟨ x ′ , x ⟩ } {\displaystyle J(x):=\left\{x'\in X':\|x'\|_{X'}^{2}=\|x\|_{X}^{2}=\langle x',x\rangle \right\}} と定義する。ハーン-バナッハの定理 により、この集合は空でないことが分かる。もし X が回帰的 であるなら、J (x ) は唯一つの要素から成る集合である[要出典 ] 。ヒルベルト空間 の場合、ヒルベルト空間とその双対空間の間の自然な双対性(canonical duality)を利用することによって、J (x ) は唯一つの要素 x から成る集合であることを示すことが出来る[2] 。作用素 A が消散的であるための必要十分条件は、すべての x ∈ D (A ) に対してある x ' ∈ J (x ) が存在し、
R e ⟨ A x , x ′ ⟩ ≤ 0 {\displaystyle {\rm {Re}}\langle Ax,x'\rangle \leq 0} が成立することである[3] 。
例 簡単な有限次元の例として、通常のドット積 を伴う n -次元ユークリッド空間 R n を考える。R n 上で定義される、恒等作用素 にマイナスをかけるような作用素を A とする。このとき、 x ⋅ A x = x ⋅ ( − x ) = − ‖ x ‖ 2 ≤ 0 {\displaystyle x\cdot Ax=x\cdot (-x)=-\|x\|^{2}\leq 0} が成立するため、A は消散作用素である。 通常内積を伴う空間 H = L 2 ([0, 1]; R ) を考える。Au = u ′ とし、その定義域 D (A ) は、ソボレフ空間 H 1 ([0, 1]; R ) に含まれる関数 u で u (1) = 0 を満たすようなものからなる集合と等しいものとする。このとき、D (A ) は H = L 2 ([0, 1]; R ) において稠密である。さらに、部分積分法 を用いることで、D (A ) 内のすべての u に対して ⟨ u , A u ⟩ = ∫ 0 1 u ( x ) u ′ ( x ) d x = − 1 2 u ( 0 ) 2 ≤ 0 {\displaystyle \langle u,Au\rangle =\int _{0}^{1}u(x)u'(x)\,\mathrm {d} x=-{\frac {1}{2}}u(0)^{2}\leq 0} が成立することがわかる。したがって A は消散作用素である。 ⟨ u , Δ u ⟩ = ∫ Ω u ( x ) Δ u ( x ) d x = − ∫ Ω | ∇ u ( x ) | 2 d x = − ‖ ∇ u ‖ L 2 ( Ω ; R ) ≤ 0 {\displaystyle \langle u,\Delta u\rangle =\int _{\Omega }u(x)\Delta u(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{\Omega }{\big |}\nabla u(x){\big |}^{2}\,\mathrm {d} x=-\|\nabla u\|_{L^{2}(\Omega ;\mathbf {R} )}\leq 0} が得られる。したがって、そのようなラプラス作用素は消散作用素であることが分かる。 注釈 参考文献 Engel, Klaus-Jochen; Nagel, Rainer (2000). One-parameter semigroups for linear evolution equations . Springer Renardy, Michael and Rogers, Robert C. (2004). An introduction to partial differential equations . Texts in Applied Mathematics 13 (Second ed.). New York: Springer-Verlag. pp. 356. ISBN 0-387-00444-0 (Definition 11.25)