A matematikában a Csebisev-függvény a Csebisevről elnevezett két függvény egyike. Az első Csebisev-függvény a ϑ(x) vagy θ(x) definíciója
![{\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba38682ec80afa73c29c41a52a63ea1976ee7305)
ahol az összegzés az x-nél nem nagyobb prímekre megy.
A második Csebisev-függvény definíciója hasonló, de az összegzés az összes x-nél nem nagyobb prímhatványt magában foglalja:
![{\displaystyle \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\sum _{p\leq x}\lfloor \log _{p}x\rfloor \log p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b56af93913d7ea43f1e20d77f164920922561b98)
ahol
a von Mangoldt-függvény. A Csebisev-függvények, különösen a ψ(x) második Csebisev-függvény gyakran hasznosnak bizonyulnak a prímekhez kapcsolódó problémákban, mivel egyszerűbb velük számolni, mint a prímszámláló π(x) függvénnyel.
Mindkettő aszimptotikus x-hez, ami a prímszámtétellel ekvivalens.
Kapcsolatuk
A második Csebisev-függvény kifejezhető, mint
![{\displaystyle \psi (x)=\sum _{p\leq x}k\log p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b13acdec2698b7719326d434d0f1411aacde5609)
ahol k az az egész, amire pk ≤ x, és x < pk+1. A k értékek sorozata
A206722. A következő egy még közvetlenebb kapcsolatot fejez ki:
![{\displaystyle \psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\vartheta \left(x^{1/n}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c55bd5f1b0f4687fc80fc2c13811411829fe6181)
Jegyezzük meg, hogy ez utóbbi összegben véges sok tag kivételével mindegyik nulla:
![{\displaystyle \vartheta \left(x^{1/n}\right)=0{\text{ ha }}n>\log _{2}x\ ={\frac {\log x}{\log 2}},.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a617313d30ba94284e16ce71e7f3ad0bc2fce632)
A második Csebisev-függvény az 1-től n-ig terjedő egészek legkisebb közös többszörösének logaritmusa:
![{\displaystyle \operatorname {lcm} (1,2,\dots ,n)=e^{\psi (n)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1916fa8ca96e5c9229db994d57202b2fce5ea94b)
Az n függvényében a
sorozat az
A003418 sorozat.
Aszimptotika és korlátok
A következő képletekben a pk a k-adik pozitív prímet jelöli. A Csebisev-függvényre a következő korlátok ismertek:Sablon:RefSablon:Ref
-re
k ≥ 198-ra,
minden x ≥ 10,544,111-re,
minden x ≥ exp(22)-re,
minden
-re.
Továbbá, a Riemann-hipotézis teljesülése esetén
![{\displaystyle |\vartheta (x)-x|=O(x^{1/2+\varepsilon })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc27a6d811d976365c93b87a140b693daab96fe3)
![{\displaystyle |\psi (x)-x|=O(x^{1/2+\varepsilon })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18aeedcb2ca6f6b509d1918806595ace96c73765)
minden
-ra.
Mindkét függvényre ismertek felső korlátok is, így[1]
![{\displaystyle \vartheta (x)<1.01624x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2ff066d4661a4d9352815765850157ed9a5c9ce)
![{\displaystyle \psi (x)<1.03883x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f1eaefdc7d16b4a0c927364978d5731ba4d2444)
minden
-ra. Az 1,03883 magyarázatát az
A206431 adja meg.
Egzakt képletek
1895-ben Hans Carl Friedrich von MangoldtSablon:Ref explicit kifejezte a
függvényt a Riemann-féle zéta-függvény nem triviális gyökeinek összegeként:
![{\displaystyle \psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-{\frac {\zeta '(0)}{\zeta (0)}}-{\frac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8723bcb5d2fd9e9abb641211921f5ace55f3dd95)
ahol ζ'(0)/ζ(0) értéke log(2π),
befutja a zéta-függvény nem triviális gyökeit, és ψ0 éppen a ψ, kivéve, hogy átugorja annak szakadási helyeit a prímhatványoknál, és ezeken a helyeken a két határérték számtani közepét veszi fel:
![{\displaystyle \psi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\left(\sum _{n\leq x}\Lambda (n)+\sum _{n<x}\Lambda (n)\right)={\begin{cases}\psi (x)-{\frac {1}{2}}\Lambda (x)&x=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\dots \\\psi (x)&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a42be1ebed781903a601fbeb3898e75e991196f)
A logaritmus Taylor-sora szerint az utolsó tag tekinthető, mint
összege a Riemann-féle zéta-függvény triviális gyökei, a negatív egészek fölött:
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{-2k}}{-2k}}={\frac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bbb86e3170cbb97f2db9fb55428765543c1c9b5)
Hasonlóan, az első tag x = x1/1 megfelel a Riemann-féle zéta-függvény elsőrendű pólusának az 1 helyen. Mivel nem gyök, hanem pólus, azért negatív előjellel szerepel az összegben.
Tulajdonságok
Erhard Schmidt egy tétele szerint egy rögzített pozitív egész K-ra végtelen sok olyan x létezik, amire
![{\displaystyle \psi (x)-x<-K{\sqrt {x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81dc7cca021574896fabdd77f611713163d783f3)
és végtelen sok x, hogy
Sablon:RefSablon:Ref
A kis ordo jelöléssel
![{\displaystyle \psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/237fe2a00a630144ac1413fe6c80c4b45303bf57)
Hardy és LittlewoodSablon:Ref eredménye erősebb:
![{\displaystyle \psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\log \log \log x\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aff590c6fd7df3ce76862279ba696928f261a171)
Kapcsolat a primoriálokkal
Az első Csebisev-függvény x primoriáljának logaritmusa, amit x# jelöl:
![{\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p=\log \prod _{p\leq x}p=\log(x\#).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd1fdda99caf7f53a2aed63741818d6827db2f13)
Ez bizonyítja, hogy az x# primoriál aszimptotikusan egyenlő exp((1+o(1))x)-szel, ahol "o" a kis ordo jelölés, és a prímszámtétellel együtt bizonyítja pn# aszimptotikus viselkedését.
Kapcsolat a prímszámláló függvénnyel
A Csebisev-függvények kapcsolatba hozhatók a prímszámláló függvénnyel. Legyen
![{\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f09f36af683ce08ee290af00b923f4c2a74020)
Ekkor
![{\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\int _{n}^{x}{\frac {dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\int _{2}^{x}{\frac {\psi (t)\,dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {\psi (x)}{\log x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6427253d033f913032ce0ba2afec714d14a2dd5)
Az áttérés
-ről
-reó a következő egyenlettel lehetséges:
![{\displaystyle \Pi (x)=\pi (x)+{\frac {1}{2}}\pi (x^{1/2})+{\frac {1}{3}}\pi (x^{1/3})+\cdots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77f576028dcfc7c8e61fa8cad600f4262618ba70)
Mivel
, azért a legutóbbi reláció írható, mint
![{\displaystyle \pi (x)=\Pi (x)+O({\sqrt {x}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15f39e62c7087e6ebcbf1b1aa74c5edb15599933)
A Riemann-hipotézis
A Riemann-hipotézis szerint a Riemann-féle zéta-függvény nem triviális gyökeinek valós része 1/2. Ekkor
, és megmutatható, hogy
![{\displaystyle \sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}=O({\sqrt {x}}\log ^{2}x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc69024bbe5071c4d30ac2c597fdc3958db20de7)
A fentiek szerint ebből következik, hogy
![{\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O({\sqrt {x}}\log x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41a57c9e154d81051f35da9721f685867c6ac306)
Alain Connes és társai úgy próbálták igazolni a hipotézist, hogy deriválták a von Mangoldt-formulát x szerint, ahol x = exp(u). A Hamilton-operátor exponenciálisának nyom képletét véve
![{\displaystyle \zeta (1/2+i{\hat {H}})|n\geq \zeta (1/2+iE_{n})=0,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7beed8bd2dcb345daaf7ccf008f84e48da5da57)
![{\displaystyle \sum _{n}e^{iuE_{n}}=Z(u)=e^{u/2}-e^{-u/2}{\frac {d\psi _{0}}{du}}-{\frac {e^{u/2}}{e^{3u}-e^{u}}}=\operatorname {Tr} (e^{iu{\hat {H}}}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59612b581083e58f76d3be714221f6edb643725c)
ahol a trigonometrikus összeg tekinthető az
operátor nyomának, ami csak akkor igaz, ha ![{\displaystyle \rho =1/2+iE(n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bdd59b82b14a6006f7ce9d02c97e23de94f5ae4)
A H = T + V hatványának félklasszikus megközelítésével:
![{\displaystyle {\frac {Z(u)u^{1/2}}{\sqrt {\pi }}}\sim \int _{-\infty }^{\infty }e^{i(uV(x)+\pi /4)}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc4e9c5b4e5dd36316c24e7a17387eb5c9e16df6)
ahol Z(u) → 0 as u → ∞. A
egy megoldása ennek a nemlineáris integrálegyenletnek, a
![{\displaystyle \pi N(E)=Arg\xi (1/2+iE)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c3f47280b48a61856172445d1c014b2c1a47488)
hatvány inverzének a kiszámításával.
Simító függvény
A simító függvény definíciója
![{\displaystyle \psi _{1}(x)=\int _{0}^{x}\psi (t)\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40d9a64670c4d85490e2555d95093a201534b158)
Belátható, hogy
![{\displaystyle \psi _{1}(x)\sim {\frac {x^{2}}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/908203191fead1c3171043ca7991edc32019a7af)
Variációszámítás
A Csebisev-függvény az x = exp(t) helyen minimalizálja az
![{\displaystyle J[f]=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(s)\zeta '(s+c)}{\zeta (s+c)(s+c)}}\,ds-\int _{0}^{\infty }\!\!\!\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(s)f(t)\,ds\,dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/934e68a1fe60c4be0b06237286f305dc342fb883)
funkcionált, így
![{\displaystyle f(t)=\psi (e^{t})e^{-ct},\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97ab1926a0b15fc7f4173241f7317a55244c5a50)
c > 0 -ra.
Jegyzetek
Források
Fordítás
- Ez a szócikk részben vagy egészben a Chebyshev function című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.