Soit C une catégorie avec produits et soient Y et Z des objets de C. L'objet exponentiel ZY peut être défini comme un morphisme universel du foncteur –×Y à Z. (Le foncteur –×Y de C dans C envoie l'objet X sur X×Y et le morphisme φ sur φ×idY).
Explicitement, un objet ZY avec un morphismeest un objet exponentiel si pour tout objet X et tout morphisme g : (X×Y) → Z il existe un unique morphismetel que le diagramme suivant commute :
Si l'objet exponentiel ZY existe pour tous les objets Z dans C, alors le foncteur qui envoie Z sur ZY est un adjoint à droite du foncteur –×Y. Dans ce cas, il y a une bijection naturelle entre les ensembles des morphismes
Les morphismes et sont parfois appelés adjoints exponentiels[1].
Dans la catégorie des ensembles, l'objet exponentiel est l'ensemble de toutes les applications de dans . L'application est l'application évaluation qui envoie la paire (f, y) sur f(y). Pour toute application , l'application est la forme curryfiée de g :
Dans la catégorie des espaces topologiques, l'objet exponentiel ZY existe si Y est un espace localement compact. Dans ce cas, l'espace ZY est l'ensemble de toutes les applications continues de Y dans Z muni de la topologie compacte-ouverte. L'application évaluation est la même que pour la catégorie des ensembles. Si Y n'est pas localement compact, l'objet exponentiel peut ne pas exister (l'espace ZY existe toujours mais n'est pas forcément un objet exponentiel car l'évaluation peut ne pas être continue). Pour cette raison, la catégorie des espaces topologique n'est pas cartésienne fermée.
(en) Jiří Adámek, Horst Herrlich et George Strecker, Abstract and Concrete Categories (The Joy of Cats), John Wiley & Sons, (1re éd. 1990) (lire en ligne)
↑(en) Robert Goldblatt, Topoi : the categorial analysis of logic, North-Holland, coll. « Studies in Logic and the Foundations of Mathematics #98 », , Revised éd., 551 p. (ISBN978-0-444-86711-7), « Chapter 3: Arrows instead of epsilon », p. 72