Les coordonnées de Kruskal-Szekeres[1] ()[2] sont un système de coordonnées d'espace-temps[3]. Elles permettent d'obtenir l'extension de Kruskal-Szekeres[4] qui est l'extension analytique maximale de la métrique de Schwarzschild[4]. L'espace-temps ainsi étendu se décompose en quatre régions (I, II, III et IV) : les régions I et II sont respectivement l'extérieur et l'intérieur d'un trou noir ; les régions III et IV, respectivement l'extérieur et l'intérieur d'un trou blanc[5].
L'extension de Kruskal-Szekeres décrit un trou noir éternel[6].
En 1924, Arthur Eddington ébauche le premier système de coordonnées non singulier à ce fameux rayon[11]. En 1938, Georges Lemaître élabore une métrique synchrone (métrique de Lemaître) ; David Finkelstein en découvre une autre, non-synchrone, en 1958[12], et nommée aujourd'hui métrique d'Eddington-Finkelstein. Synge démontrera que cette dernière métrique ne recouvre qu'une partie de la géométrie de l'espace-temps de Schwarzschild[13], tout comme celle de Lemaître : ces métriques ne permettent pas d'envisager tous les cas dynamiques d'un corps dans l'environnement d'un trou noir de Schwarzschild. Elles ont toutefois montré que ce rayon n'est pas une singularité réelle, physique, mais seulement pour la métrique choisie par Schwarzschild.
En 1960, Martin Kruskal et George Szekeres construisent une nouvelle métrique permettant d'étudier tous les types de mouvements d'un corps à l'extérieur et sous le rayon de Schwarzschild[14].
Convention : la signature de la métrique est (– + + +).
Kruskal et Szekeres utilisent des coordonnées sans dimension, pour la coordonnée radiale et pour la coordonnée temporelle, définies dans le but d'éliminer le terme dans la nouvelle métrique. Elles reconstruisent par des fonctions transcendantes.
Les variables et sont définies par :
Les coordonnées et de Kruskal-Szekeres sont reliées aux coordonnées et de Schwarzschild par[15],[16] :
À l'intérieur de l'horizon, , où le facteur de proportionnalité est défini positif et ne diverge que pour [36].
Avec les coordonnées de Kruskal-Szekeres, la singularité en de la métrique de Schwarzschild est située en [37].
On a donc maintenant deux singularités : .
Les droites en coordonnées de Schwarzschild sont les hyperboles en coordonnées de Kruskal. Leurs asymptotes sont les bissectrices et .Les droites en coordonnées de Schwarzschild sont les droites passant par l'origine en coordonnées de Kruskal.Les singularités sont représentées par les frontières des zones hyperboliques grises sur le dessin ci-contre.
Les géodésiques de type lumière sont les lignes orientées à 45°. Il est facile de vérifier que pour , on a .
La métrique de Schwarzschild différencie deux régions de l'espace-temps délimitées par l'horizon des événements. La région est segmentée en deux avec la métrique de Kruskal-Szekeres.
La condition correspond à .
La totalité de la géométrie de Schwarzschild est donc représentée par quatre régions différentes en coordonnées de Kruskal.
[Szeftel 2013] Jérémie Szeftel, « Introduction à la relativité générale d'un point de vue mathématique », base Gargantua de l'École polytechnique, , p. 79 p., chap. 6 (« Exemples de solutions explicites »), sections 6.2 (« Solution de Schwarzschild »), 6.2.1. (« Solution et extension maximale »), p. 59-61 (lire en ligne).