Une algèbre associative sur un corps commutatif, encore appelée -algèbre associative, est un espace vectoriel sur muni d'une multiplication bilinéaire telle que
(x y) z = x (y z) pour tous x, y et z dans ,
où l'image de (x,y) est notée xy.
Si contient une unité, i.e. un élément 1 tel que 1x=x=x1 pour tout x dans , alors est appelée algèbre associative unifère ou unitaire. Une telle algèbre est un anneau et contient le corps de base par identification de c dans avec c1 dans .
La dimension d'une algèbre associative sur un corps est sa dimension comme espace vectoriel sur .
L’ensemble des endomorphismes d'un 𝕂-espace vectoriel de dimension finie n, muni de la somme, de la multiplication par un scalaire et de la composition, forme une 𝕂-algèbre associative unitaire de dimension finie n², non commutative sauf si n = 1.
L’ensemble des matrices n×n à coefficients dans 𝕂, muni de la somme, de la multiplication par un scalaire et du produit matriciel, est une 𝕂-algèbre associative unitaire isomorphe à la précédente (donc de même dimension) : l’application qui à un endomorphisme associe sa matrice dans une base fixée est un isomorphisme de 𝕂-algèbres (voir matrice d’une application linéaire).
Plus généralement, pour tout 𝕂-espace vectoriel V (de dimension finie ou non), les endomorphismes de V forment une 𝕂-algèbre associative unitaire, non commutative sauf si V est de dimension égale à 1.
Les quaternions forment une algèbre associative, unitaire et non commutative de dimension 4 sur le corps des nombres réels.