Το διάγραμμα Βενν για τη συμμετρική διαφορά δύο συνόλων X {\displaystyle X} και Y {\displaystyle Y} . Στην θεωρία συνόλων , η συμμετρική διαφορά (ή διαζευτικό άθροισμα ή συμμετροδιαφορά ) δύο συνόλων A {\displaystyle A} και B {\displaystyle B} είναι το σύνολο των στοιχείων τους που δεν περιέχονται στην τομή τους, ισοδύναμα τα στοιχεία που περιέχονται ακριβώς σε ένα από τα δύο σύνολα. Συμβολίζεται ως A △ B {\displaystyle A\vartriangle B} (ή A ⊖ B {\displaystyle A\ominus B} ) και ορίζεται ως[1] [2] [3] [4]
A △ B = { x ∈ A ∪ B : x ∉ A ∩ B } , {\displaystyle A\vartriangle B=\left\{x\in A\cup B:x\notin A\cap B\right\},} όπου A ∪ B {\displaystyle A\cup B} είναι η ένωση των δύο συνόλων και A ∩ B {\displaystyle A\cap B} είναι η τομή τους, ή ισοδύναμα ως
A △ B = { x ∈ A ∪ B : x ∈ A ⊕ x ∈ B } , {\displaystyle A\vartriangle B=\left\{x\in A\cup B:x\in A\oplus x\in B\right\},} όπου ⊕ {\displaystyle \oplus } η λογική αποκλειστική διάζευξη
Για παράδειγμα, η συμμετρική διαφορά των συνόλων A = { 1 , 2 , 5 , 7 , 9 } {\displaystyle A=\{1,2,5,7,9\}} και B = { 2 , 3 , 4 , 5 , 8 , 9 , 11 } {\displaystyle B=\{2,3,4,5,8,9,11\}} είναι το σύνολο
A △ B = { 1 , 3 , 4 , 7 , 8 , 11 } {\displaystyle A\vartriangle B=\{1,3,4,7,8,11\}} .Ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:
A △ B = B △ A {\displaystyle A\vartriangle B=B\vartriangle A} (αντιμεταθετική ιδιότητα ) A △ ( B △ C ) = ( A △ B ) △ C {\displaystyle A\vartriangle (B\vartriangle C)=(A\vartriangle B)\vartriangle C} (προσεταιριστική ιδιότητα ) A △ B = ( A ∪ B ) ∖ ( A ∩ B ) {\displaystyle A\vartriangle B=(A\cup B)\setminus (A\cap B)} . A ∩ ( B △ C ) = ( A ∩ B ) △ ( A ∩ C ) {\displaystyle A\cap (B\vartriangle C)=(A\cap B)\vartriangle (A\cap C)} (επιμεριστική ιδιότητα ως προς την τομή). A △ B = A ∪ B {\displaystyle A\vartriangle B=A\cup B} ανν τα δύο σύνολα είναι ξένα μεταξύ τους. A △ B = ∅ {\displaystyle A\vartriangle B=\emptyset } ανν A = B {\displaystyle A=B} .Το διάγραμμα Βενν για τη συμμετρική διαφορά δύο συνόλων X {\displaystyle X} και Y {\displaystyle Y} . Η συμμετρική διαφορά n {\displaystyle n} συνόλων A 1 , A 2 , … , A n {\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}} ορίζεται ως
△ ( A 1 , … , A n ) = { x ∈ A 1 ∪ … ∪ A n : ( x ∈ A 1 ) ⊕ … ⊕ ( x ∈ A n ) } {\displaystyle \vartriangle (A_{1},\ldots ,A_{n})=\{x\in A_{1}\cup \ldots \cup A_{n}:(x\in A_{1})\oplus \ldots \oplus (x\in A_{n})\}} ,δηλαδή το σύνολο των στοιχείων που εμφανίζονται σε μονό αριθμό συνόλων.