Το μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος με άκρα τα σημεία ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1})} και ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle (x_{2},y_{2})} . Στην γεωμετρία , το μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος A B {\displaystyle {\rm {AB}}} είναι το σημείο M {\displaystyle {\rm {M}}} του ευθυγράμμου τμήματος που ισαπέχει από τα άκρα του, δηλαδή A M = M B {\displaystyle {\rm {AM=MB}}} .[1] :6 [2] :40 Λέμε επίσης ότι το M {\displaystyle {\rm {M}}} διχοτομεί το A B {\displaystyle {\rm {AB}}} .
Στο επίπεδο R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} , το μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος με άκρα τα A = ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle {\rm {A}}=(x_{1},y_{1})} και B = ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle {\rm {B}}=(x_{2},y_{2})} δίνεται από τον τύπο :
M = ( x 1 + x 2 2 , y 1 + y 2 2 ) {\displaystyle {\rm {M}}=\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}\right)} .Στον τρισδιάστατο χώρο R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος με άκρα A = ( x 1 , y 1 , z 1 ) {\displaystyle {\rm {A}}=(x_{1},y_{1},z_{1})} και B = ( x 2 , y 2 , z 2 ) {\displaystyle {\rm {B}}=(x_{2},y_{2},z_{2})} , δίνεται από τον τύπο
M = ( x 1 + x 2 2 , y 1 + y 2 2 , z 1 + z 2 2 ) {\displaystyle {\rm {M}}=\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}},{\frac {z_{1}+z_{2}}{2}}\right)} .Στην γενική περίπτωση του χώρου n {\displaystyle n} διαστάσεων, το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα A = ( x 11 , x 12 , … , x 1 n ) {\displaystyle {\rm {A}}=(x_{11},x_{12},\ldots ,x_{1n})} και B = ( x 21 , x 22 , … , x 2 n ) {\displaystyle {\rm {B}}=(x_{21},x_{22},\ldots ,x_{2n})} , το μέσο δίνεται από τον τύπο
M = ( x 11 + x 21 2 , x 12 + x 12 2 , x 13 + x 23 2 , … , x 1 n + x 2 n 2 ) {\displaystyle {\rm {M}}=\left({\frac {x_{11}+x_{21}}{2}},{\frac {x_{12}+x_{12}}{2}},{\frac {x_{13}+x_{23}}{2}},\dots ,{\frac {x_{1n}+x_{2n}}{2}}\right)} .Το μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος μπορεί να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη ως εξής:
Με τον διαβήτη χαράζουμε δύο κύκλους με κέντρα τα A {\displaystyle \mathrm {A} } και B {\displaystyle \mathrm {B} } και ακτίνα A B {\displaystyle \mathrm {AB} } . Βρίσκουμε τα σημεία τομής T 1 {\displaystyle \mathrm {T} _{1}} και T 2 {\displaystyle \mathrm {T} _{2}} των δύο κύκλων. Η ευθεία που ενώνει τα T 1 {\displaystyle \mathrm {T} _{1}} και T 2 {\displaystyle \mathrm {T} _{2}} είναι η μεσοκάθετος του A B {\displaystyle \mathrm {AB} } και το σημείο τομής της M {\displaystyle {\rm {M}}} με την A B {\displaystyle {\rm {AB}}} είναι το μέσο.
Το μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος είναι μοναδικό. Ανάλογα με τα ποια αξιώματα επιλέγονται για την θεμελίωση της γεωμετρίας, η μοναδικότητα μπορεί να είναι αξίωμα ή θεώρημα .[1] [2]