Miyaoka-Yau-Ungleichung

In der komplexen Geometrie dient die Miyaoka-Yau-Ungleichung (auch Bogomolov-Miyaoka-Ungleichung) zur Charakterisierung von bestimmten komplexen Mannigfaltigkeiten, den Ballquotienten.

Sei ${\displaystyle S}$ eine kompakte komplexe Fläche von allgemeinem Typ. Dann gilt für die Chern-Klassen ${\displaystyle c_{1}}$ und ${\displaystyle c_{2}}$ die Ungleichung

${\displaystyle c_{1}^{2}\leq 3c_{2}}$

und Gleichheit gilt nur, wenn ${\displaystyle S}$ ein Ballquotient, also eine komplex-hyperbolische Fläche ist.^[1][2]

Sei ${\displaystyle X}$ eine ${\displaystyle n}$-dimensionale komplexe projektive Varietät, deren kanonischer Divisor ${\displaystyle K_{X}}$ ampel ist. Dann gilt die Ungleichung

${\displaystyle \left(c_{2}-{\frac {n}{2(n+1)}}c_{1}^{2}\right)\left[K_{X}\right]^{n-2}\geq 0}$

und Gleichheit gilt nur, wenn ${\displaystyle X}$ ein Ballquotient, also eine komplex-hyperbolische Mannigfaltigkeit ist.^[3]