Біномнае размеркаванне

Выпадковая велічыня ${\displaystyle X}$ , якая мая біномнае размеркаванне з параметрамі ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ і ${\displaystyle p\in [0,1]}$ запісваецца як ${\displaystyle X\sim B(n,p).}$ Імавернасць назірання ${\displaystyle k}$ поспехаў у ${\displaystyle n}$ выпрабаваннях Бэрнулі задаецца функцыяй імавернасці:

${\displaystyle p_{X\sim B(n,p)}(k)=P(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$

для ${\displaystyle k=0,1,2,\dots ,n}$ , дзе

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$

— біномны каэфіцыент^[en], ад якога і паходзіць імя размеркавання. Формула тлумачыцца наступным чынам: імавернасць назірання ${\displaystyle k}$ поспехаў роўная ${\displaystyle p^{k}}$ , а ${\displaystyle n-k}$ няўдач адбываюцца з імавернасцю ${\displaystyle (1-p)^{n-k}}$ . Пры гэтым паспяховымі могуць быць якія-кольвек ${\displaystyle k}$ з шэрагу ${\displaystyle n}$ выпрабаванняў, і існуе ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ спалучэнняў з ${\displaystyle n}$ выпрабаванняў па ${\displaystyle k}$ .

Функцыя размеркавання для ${\displaystyle k\in [0,n]}$ мае выгляд:

${\displaystyle F_{X\sim B(n,p)}(k)=P(X\leq k)=\sum _{i=0}^{\lfloor k\rfloor }{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i},}$

дзе ${\displaystyle \lfloor k\rfloor }$  — цэлая частка^[en] ад ${\displaystyle k}$ .

Няхай манетка мае імавернасць 0.3 выпасці рэшкай. Імавернасць пабачыць 4 рэшкі пры яе шасціразовым падкіданні роўная

${\displaystyle p_{B(6,0.3)}(4)={\binom {6}{4}}0.3^{4}(1-0.3)^{6-4}=0.059535.}$

Няхай ${\displaystyle X\sim B(n,p).}$ Тады можна запісаць ${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{n}X_{i},}$ дзе кожная велічыня ${\displaystyle X_{i}}$ мае размеркаванне Бэрнулі з параметрам ${\displaystyle p}$ і ўсе ${\displaystyle X_{i}}$ незалежныя адна ад адной. Ведаючы характарыстыкі размеркавання Бэрнулі ${\displaystyle (\mathbb {E} [X_{i}]=p}$ і ${\displaystyle Var(X_{i})=p(1-p))}$ , можна знайсці матэматычнае спадзяванне і дысперсію біномнага размеркавання^[1]:118:

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\mathbb {E} \left[\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right]=\sum _{i=1}^{n}\mathbb {E} [X_{i}]=np,}$

${\displaystyle Var(X)=Var\left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}Var(X_{i})=np(1-p)=npq.}$

Размеркаванне Бэрнулі — асобны выпадак біномнага размеркавання для ${\displaystyle n=1}$ ^[1]:81. Іншымі словамі, велічыня ${\displaystyle X\sim B(1,p)}$ мае такое ж размеркаванне, як і велічыня ${\displaystyle X\sim Bernoulli(p).}$

Паліномнае размеркаванне — многавымернае абагульненне біномнага. Яно дазваляе мадэляваць сітуацыі, калі магчымых зыходаў выпрабавання больш за два.