Fungsi kontinu
Kalkulus |
---|
Dalam matematika, fungsi kontinu dalam adalah jenis fungsi yang perubahan secara kontinu (sinambung, tanpa terpotong) pada variabel fungsi mengakibatkan perubahan kontinu pada nilai keluaran fungsi. Hal ini mengartikan nilai fungsi tidak pernah mengalami perubahan yang mendadak/tiba-tiba. Gagasan intuitif kekontinuan mengilustrasikan fungsi kontinu sebagai fungsi yang grafiknya dapat digambar tanpa mengangkat kapur dari papan tulis. Secara lebih teknis, fungsi dikatakan kontinu jika perubahan kecil pada nilai fungsi dapat dipastikan cukup dengan membuat perubahan kecil pada variabelnya. Fungsi yang tidak kontinu dikatakan fungsi takkontinu atau fungsi diskontinu. Sampai pada abad ke-19, matematikawan sangat mengandalkan konsep kekontinuan yang intuitif. Hal ini berubah sejak definisi epsilon-delta dari limit diperkenalkan untuk memformalkan definisi kekontinuan.
Kekontinuan adalah salah satu konsep inti dalam kalkulus dan analisis matematika, yang membahas fungsi dengan keluaran maupun variabelnya dapat berupa bilangan real atau kompleks. Konsep kekontinuan juga diperumum untuk fungsi antar ruang metrik dan antar ruang topologis. Fungsi jenis terakhir adalah fungsi kontinu yang paling umum, dan definisinya menjadi dasar ilmu topologi.
Sebagai contoh, fungsi h(t) yang memerikan tinggi bunga yang sedang tumbuh pada waktu t dapat dianggap fungsi kontinu. Sebaliknya, jika fungsi M(t) melambangkan jumlah uang di sebuah rekening bank pada waktu t, nilai fungsi ini akan "melompat" ketika uang disimpan atau ditarik. Hal ini menyebabkan M(t) adalah fungsi diskontinu.
Sejarah
Suatu bentuk definisi epsilon-delta untuk kekontinuan pertama kali diberikan oleh Bernard Bolzano pada tahun 1817. Augustin-Louis Cauchy mendefinisikan kekontinuan sebagai berikut: perubahan yang tak hingga kecilnya pada nilai
dari variabel bebas
, akan selalu menghasilkan perubahan yang tak hingga kecilnya pada nilai
dari variabel terikat
(lihat Cours d'Analyse, hal. 34). Cauchy mendefinisikan besaran yang sangat kecil dalam bentuk besaran variabel, dan definisinya tentang kontinuitas sangat mirip dengan definisi infinitesimal yang digunakan saat ini (lihat mikrokontinuitas).
Definisi formal dan perbedaan antara kekontinuan bagian-demi-bagian (pointwise) dengan kekontinuan seragam pertama kali dinyatakan oleh Bolzano pada tahun 1830-an, tetapi karya tersebut tidak dipublikasikan sampai tahun 1930-an. Sama seperti Bolzano,[1] Karl Weierstrass[2] menolak mengganggap fungsi bersifat kontinu di suatu titik jika nilai fungsi tersebut tidak terdefinisi di
dan di kedua sisi titik itu. Tetapi Édouard Goursat[3] memperbolehkan fungsi untuk hanya didefinisikan di
dan di salah satu sisinya. Sedangkan Camille Jordan[4] bertindak jauh dengan mengijinkan fungsi bersifat kontinu bahkan jika fungsi hanya terdefinisi di titik
. Ketiga definisi yang berbeda tentang kekontinuan bagian-demi-bagian itu masih digunakan saat ini.[5] Terbitan oleh Eduard Heine pada tahun 1872 memberikan definisi pertama mengenai kekontinuan seragam, tetapi gagasan itu didasarkan pada kuliah yang diberikan oleh Peter Gustav Lejeune Dirichlet pada tahun 1854.[6]
Fungsi real
Definisi
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2b/Function-1_x.svg/220px-Function-1_x.svg.png)
Sebuah fungsi real, yakni fungsi yang memetakan bilangan real ke bilangan real, dapat dinyatakan oleh sebuah grafik di bidang Kartesius. Dinyatakan secara informal, fungsi tersebut kontinu jika grafik dari fungsi berupa satu kurva utuh dengan domainnya adalah seluruh garis bilangan. Definisi matematis yang lebih tegas (rigor) diberikan pada bagian artikel di bawah.[7] Secara sederhana, kekontinuan fungsi real umumnya didefinisikan dalam bentuk limit. Sebuah fungsi dengan variabel
dikatakan kontinu di bilangan real
, jika limit dari
ketika
menuju
, akan sama dengan
Terdapat beberapa definisi berbeda mengenai kekontinuan (secara global) dari fungsi, yang bergantung dari bentuk domain fungsi tersebut. Sebuah fungsi dikatakan kontinu pada selang buka jika selang tersebut berada dalam domain fungsi, dan jika fungsi kontinu di setiap titik di selang tersebut. Fungsi yang kontinu pada selang (yakni seluruh garis bilangan) umumnya cukup disebut sebagai fungsi kontinu; sebagian menyebut fungsi tersebut kontinu dimanapun. Sebagai contoh, semua fungsi polinomial kontinu dimanapun. Sebuah fungsi dikatakan kontinu pada selang semi-buka atau pada selang tutup, jika selang tersebut berada dalam domain fungsi, fungsi kontinu di setiap titik dalam (interior) di selang tersebut, dan nilai fungsi pada ujung selang sama dengan nilai limit fungsi ketika variabel fungsi tersebut mendekati ujung selang dari sisi dalam selang. Sebagai contoh, fungsi
kontinu pada selang tutup-buka
; karena selang tersebut berada dalam domain fungsi (lebih tepatnya, selang tersebut adalah domain dari fungsi), fungsi kontinu di setiap titik di
, dan nilai
sama dengan nilai
ketika
dari arah kanan.
Sebuah fungsi dikatakan takkontinu pada suatu titik, jika titik tersebut berada di ketertutupan (closure) dari domainnya, dan jika titik tersebut bukan bagian domain fungsi atau fungsi tidak kontinu pada titik tersebut. Sebagai contoh, fungsi dan
takkontinu di
, dan tetap takkontinu bahkan ketika nilai fungsi di titik tersebut didefinisikan. Titik dimana fungsi takkontinu disebut titik ketakkontinuan atau diskontinuitas.[8]
Banyak fungsi yang ditemui umumnya memiliki domain berupa seluruh bilangan real, kecuali untuk beberapa titik pencil. Contoh fungsi jenis ini adalah fungsi dan
Ketika dibahas dalam konteks domain mereka, fungsi jenis ini dapat dikatakan kontinu, walaupun tidak kontinu dimanapun. Dalam konteks lain, khususnya perilaku fungsi di sekitar titik-titik istimewa seperti
untuk
, fungsi jenis ini termasuk fungsi takkontinu.
Menggunakan notasi matematika, ada beberapa cara untuk mendefinisikan fungsi kontinu berdasarkan tiga sudut pandang yang disebutkan di atas. Untuk itu, misalkan
, yakni
adalah keseluruhan himpunan bilangan real; atau untuk suatu bilangan real
dan
,
:
berupa selang tutup, atau
:
berupa selang buka.
Pada kasus domain didefinisikan sebagai suatu selang buka, titik
dan
tidak berada di
, dan nilai dari
dan
tidak mempengaruhi kekontinuan fungsi pada
.
Definisi menggunakan bentuk limit fungsi
Fungsi dikatakan kontinu di titik
di domainnya, jika limit dari
ketika
menuju
melalui domain
, ada nilainya dan sama dengan
[9] Dalam notasi matematika, hal ini ditulis sebagai
Definisi menggunakan lingkungan
Sebuah lingkungan dari suatu titik adalah himpunan yang berisi, setidaknya, semua titik yang jaraknya dengan
sama besar. Secara intuitif, sebuah fungsi bersifat kontinu di titik
jika semua lingkungan (yang merupakan subset dari citra
) dari
akan mengecil menjadi sebuah titik
, ketika lebar lingkungan dari
mengecil ke nol. Menyatakan dengan lebih rinci, sebuah fungsi
kontinu di titik
di domainnya, jika untuk sembarang lingkungan
ada suatu lingkungan
di domain fungsi tersebut, sehingga
kapanpun
Definisi ini hanya memerlukan domain dan kodomainnya merupakan ruang topologis, menjadikannya definisi yang paling umum. Dari definisi ini disimpulkan fungsi secara otomatis bersifat kontinu di setiap titik pencil fungsi tersebut. Sebagai contoh spesifik, semua fungsi bernilai real dengan domain himpunan bilangan bulat adalah fungsi kontinu.
Definisi menggunakan limit barisan
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/be/Continuity_of_the_Exponential_at_0.svg/220px-Continuity_of_the_Exponential_at_0.svg.png)
Fungsi kontinu juga dapat didefinisikan dengan mengharuskan semua barisan dari titik-titik di domain fungsi, yang konvergen ke titik
, akan menyebabkan barisan
konvergen ke
Dalam notasi matematika, definisi ini dapat dituliskan sebagai,
Definisi menggunakan epsilon-delta
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7f/Example_of_continuous_function.svg/220px-Example_of_continuous_function.svg.png)
Dengan menyertakan secara eksplisit definisi limit fungsi ke dalam definisi kekontinuan, fungsi kontinu dapat dijelaskan tanpa perlu merujuk ke konsep limit. Dalam definisi ini, misalkan sebuah fungsi yang didefinisikan pada bagian di atas, dan sebuah titik
di domain
. Fungsi
dikatakan kontinu di titik
jika kondisi berikut dipenuhi: Untuk setiap bilangan
sekecil apapun itu, akan ada suatu bilangan
sehingga untuk semua
di
dengan
berlaku
Weierstrass mengharuskan selang seluruhnya berada di dalam domain
, namun Jordan menunjukkan syarat ini dapat dihilangkan.
Definisi menggunakan fungsi kontrol
Dalam penulisan bukti dan analisis matematika, terkadang dibutuhkan pemahaman mengenai seberapa cepat limit suatu fungsi akan konvergen. Salah satu cara mengetahuinya adalah dengan mengontrol nilai selisih. Konsep ini dapat diformalkan menjadi sebuah definisi untuk kekontinuan. Sebuah fungsi disebut sebagai fungsi kontrol, jika
adalah fungsi tak-turun
Sebuah dikatakan kontinu-
di
, jika untuk setiap
di
berlaku
Membangun fungsi kontinu
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2d/Brent_method_example.svg/220px-Brent_method_example.svg.png)
Proses mengecek kekontinuan suatu fungsi dapat disederhanakan dengan memeriksa syarat-syarat kekontinuan pada bagian-bagian fungsi. Dapat dibuktikan bahwa penjumlahan dua fungsi yang kontinu pada suatu domain, akan menghasilkan fungsi yang juga kontinu pada domain tersebut. Misalkan hasil penjumlahan fungsi-fungsi kontinu
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c4/Homografia.svg/220px-Homografia.svg.png)
Dengan menggunakan cara yang sama, dapat ditunjukkan bahwa hasil kebalikan dari sebuah fungsi kontinu
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Si_cos.svg/220px-Si_cos.svg.png)
Contoh lain adalah fungsi yang terdefinisi dan kontinu untuk bilangan real
Tetapi, berbeda dengan contoh sebelumnya, fungsi
dapat diperluas menjadi sebuah fungsi kontinu pada semua bilangan real. Hal ini dilakukan dengan mendefinisikan nilai
sebagai 1, yakni nilai limit dari
ketika
menuju 0. Dengan kata lain,
fungsi bersifat kontinu pada semua bilangan real. Istilah ketakkontinuan terhapuskan[11] digunakan untuk menyebut titik takkontinu yang dapat didefinisikan (ulang) agar fungsi bersifat kontinu di titik tersebut.
Konstruksi fungsi kontinu yang lebih rumit melibatkan komposisi fungsi. Misalkan dua fungsi kontinu
Contoh fungsi takkontinu
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c1/Discontinuity_of_the_sign_function_at_0.svg/220px-Discontinuity_of_the_sign_function_at_0.svg.png)
Sebuah contoh dari fungsi takkontinu adalah fungsi tangga Heaviside , yang didefinisikan sebagai
Untuk mengetahui penyebab ketakkontinuan dari fungsi, pilih, sebagai contoh, nilai . Tidak ada lingkungan-
sekitar
, dalam kata lain tidak ada selang buka
dengan
yang membuat semua nilai
berada di dalam lingkungan-
sekitar
, yaitu selang
. Secara intuitif, titik ini adalah tipe ketakkontinuan berupa "loncatan" pada nilai fungsi.
Mirip dengan contoh sebelumnya, fungsi tanda atau fungsi signum,
takkontinu di namun kontinu dimanapun selain titik itu. Contoh lain lagi adalah fungsi
yang juga kontinu dimanapun selain titik .
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/15/Thomae_function_%280%2C1%29.svg/220px-Thomae_function_%280%2C1%29.svg.png)
Selain sejumlah bentuk kekontinuan dan ketakkontinuan di atas, terdapat fungsi dengan perilaku yang "diluar nalar", sebagai contoh adalah fungsi Thomae
Sifat-sifat
Sebuah lemma yang berguna
Misalkan adalah fungsi yang kontinu di suatu titik
dan
adalah nilai yang memenuhi
Maka akan berlaku
pada semua titik pada suatu lingkungan dari
[12] Hal ini dapat dibuktikan dengan menggunakan definisi dari kekontinuan: dengan memilih
, akan ada
sehingga
Teorema nilai antara
Teorema nilai antara adalah sebuah teorema keberadaan, yang didasarkan pada sifat kelengkapan (completeness) dari bilangan real. Teorema ini menyatakan:
Jika fungsi bernilai real
kontinu pada selang tutup
dan
adalah suatu bilangan di antara
dan
maka ada bilangan
yang memenuhi
![]()
Sebagai ilustrasi teorema ini, misalkan seorang anak yang bertambah tinggi dari 1 m pada usia dua tahun menjadi 1,5 m pada usia enam tahun. Akan ada waktu di antara tahun kedua dan tahun keenam, ketika tinggi anak tersebut sama dengan 1,25 m.
Salah satu akibat teorema ini, jika kontinu pada
dan
dan
berbeda tanda, maka ada titik
sehingga
bernilai nol. Dengan kata lain, fungsi
memiliki akar pada selang
Teorema nilai ekstrem
Teorema nilai ekstrem menyatakan jika sebuah fungsi terdefinisi pada suatu selang tutup
(atau sembarang himpunan tertutup dan terbatas) dan kontinu di domain itu, maka fungsi memilliki nilai maksimum. Dengan kata lain, ada nilai
dengan
untuk setiap
Teorema yang sama juga berlaku untuk nilai minimum dari
Teorema ini secara umum tidak berlaku untuk fungsi dengan domain
(atau sembarang himpunan yang tidak tertutup sekaligus terbatas). Sebagai contoh, fungsi kontinu
yang terdefinisi pada interval buka
tidak memiliki nilai maksimum, karena nilai fungsi tidak terbatas dari atas.
Hubungan dengan kediferensialan dan keterintegralan
Dapat ditunjukkan bahwa semua fungsi terdiferensialkan bersifat kontinu. Namun, kebalikannya tidak berlaku: sebagai contoh, fungsi nilai mutlak
Turunan dari fungsi
tidak harus bersifat kontinu. Jika
kontinu, fungsi
dikatakan terdiferensialkan [secara] kontinu. Himpunan dari fungsi-fungsi jenis ini dinyatakan dengan
Secara umum, himpunan fungsi
(dengan
berupa selang buka) yang dapat diturunkan sebanyak
kali dan turunan ke-
dari
bersifat kontinu, dinotasikan dengan
Dalam bidang grafika komputer, sifat-sifat yang berkaitan (namun tidak sama) dengan
terkadang disebut
(kekontinuan posisi),
(kekontinuan garis singgung), dan
(kekontinuan kelengkungan/kurvatur).
Setiap fungsi kontinu dapat diintegralkan, sebagai contoh dalam konteks integral Riemann. Kebalikannya tidak berlaku, seperti yang ditunjukkan oleh fungsi tanda; contoh fungsi terintegralkan namun takkontinu.
Fungsi kontinu antar ruang metrik
Konsep fungsi bernilai real kontinu dapat perumum untuk fungsi antar ruang metrik. Ruang metrik adalah sebuah himpunan yang dilengkapi dengan sebuah fungsi
(disebut metrik); fungsi ini dapat dianggap sebagai ukuran jarak antara dua elemen di
. Secara formal, metrik adalah fungsi
yang memenuhi sejumlah persyaratan, terutama pertidaksamaan segitiga. Untuk sembarang dua ruang metrik dan
, sebuah fungsi
dikatakan kontinu (terhadap metrik yang digunakan) di titik , jika untuk sembarang bilangan real positif
akan terdapat bilangan real positif
, sehingga semua nilai
yang memenuhi
juga akan memenuhi
. Seperti pada kasus fungsi real di bagian sebelumnya, definisi ini setara dengan syarat bahwa untuk setiap barisan
dengan nilai limit
, haruslah
. Syarat ini dapat diperlemah menjadi: fungsi
kontinu jika dan hanya jika untuk setiap barisan
yang konvergen ke
(dan
berada di domain
), barisan
adalah barisan Cauchy.
Himpunan titik dimana sebuah fungsi antar ruang metrik bersifat kontinu disebut dengan himpunan , yang berasal dari definisi kekontinuan menggunakan epsilon-delta.
Salah satu contoh penggunaan konsep kekontinuan ini ada di analisis fungsional. Sebuah definisi yang penting dalam cabang matematika ini menyatakan bahwa: sebuah operator linear
Kekontinuan seragam, Hölder, dan Lipschitz
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8d/Lipschitz_continuity.png/220px-Lipschitz_continuity.png)
Konsep kekontinuan fungsi antar ruang metrik pada bagian sebelumnya, dapat diperkuat dengan membatasi bagaimana nilai terikat pada
dan titik
; yang dapat dilakukan dalam berbagai cara. Secara informal, fungsi
disebut kontinu seragam jika pemilihan nilai
tidak tergantung pada titik
. Lebih tepatnya, fungsi kontinu seragam perlu memenuhi kondisi berikut: untuk setiap bilangan real
akan ada
sehingga untuk setiap
yang memenuhi
, juga akan memenuhi
. Jadi, setiap fungsi yang kontinu seragam adalah fungsi kontinu. Kebalikannya tidak berlaku secara umum, tetapi berlaku bila domain
berupa ruang kompak. Peta kontinu seragam dapat didefinisikan dalam situasi ruang seragam yang lebih umum.[13]
Sebuah fungsi disebut kontinu Hölder pangkat (berupa bilangan real) jika ada konstanta
sehingga untuk semua
akan berlaku pertidaksamaan
Semua fungsi kontinu Hölder bersifat kontinu seragam. Kasus khusus disebut sebagai kekontinuan Lipschitz. Artinya, suatu fungsi kontinu Lipschitz jika ada konstanta
sedemikian rupa sehingga pertidaksamaan
berlaku untuk sembarang .[14] Kondisi Lipschitz digunakan contohnya dalam teorema Picard – Lindelöf yang membahas tentang solusi persamaan diferensial biasa.
Konsep yang berkaitan
Jika fungsi adalah suatu fungsi kontinu dari suatu subset
dari ruang topologis
maka perluasan kontinu dari
ke
adalah sembarang fungsi kontinu
dengan
untuk setiap
kondisi ini sering ditulis sebagai
Secara informal, itu adalah sembarang fungsi
yang membatasi
pada
Konsep ini digunakan, sebagai contoh, dalam teorema perluasan Tietze dan teorema Hahn–Banach. Jika
tidak kontinu maka tidak mungkin fungsi tersebut memiliki perluasan kontinu. Jika
adalah suatu ruang Hausdorff dan
adalah himpunan rapat dari
maka fungsi perluasan kontinu dari
ke
jika itu ada, bersifat unik.
Banyak cabang matematika lainnya menggunakan konsep kekontinuan dalam konteks berbeda, namun memiliki makna yang mirip. Sebagai contoh, dalam teori urutan, fungsi kekal-urutan(order-preserving function) antar jenis himpunan terurut parsial tertentu
dan
, dikatakan kontinu jika untuk setiap himpunan berarah
dari
, berlaku hubungan
Notasi
tersebut masing-masing menyatakan supremum terhadap urutan dalam
dan
. Konsep kekontinuan ini sama kekontinuan topologis ketika himpunan urutan parsial merupakan subset dari topologi Scott.[sumber mendukung?][15][16]
Dalam teori kategori, sebuah fungtor
Sebuah ruang kekontinuan adalah perumuman dari ruang metrik dan poset,[17][18] dan dapat digunakan untuk menyatukan konsep dari ruang metrik dan domain.[19]
Catatan
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png)
Referensi
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Fungsi kontinu", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4