Bukti bahwa 22/7 melebihi π

Nilai ${\displaystyle {\dfrac {22}{7}}}$ adalah hampiran Diophantus dari ${\displaystyle \pi }$ yang banyak digunakan. Bilangan tersebut bernilai lebih dari ${\displaystyle \pi }$ , yang dapat dilihat dari representasi desimal dari kedua nilai tersebut:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {22}{7}}&=3.{\overline {142\,857}}\\\pi &=3.141\,592\,65\ldots \end{aligned}}}$

Nilai hampiran tersebut telah diketahui sejak lama. Archimedes menjadi orang pertama yang menulis bukti mengenai nilai bilangan ${\displaystyle {\dfrac {22}{7}}}$ melebihi ${\displaystyle \pi }$ pada abad ke-3 SM, walaupun mungkin saja Archimedes bukanlah yang pertama menggunakan hampiran tersebut. Alur pembuktiannya adalah dengan menunjukkan bahwa ${\displaystyle {\dfrac {22}{7}}}$ lebih dari rasio dari keliling segi-96 beraturan terhadap diameter lingkaran yang dilingkupinya.^{[note 1]}

Pembuktiannya dapat dijabarkan secara singkat sebagai berikut:

${\displaystyle 0<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{1+x^{2}}}\,{\text{d}}x={\frac {22}{7}}-\pi }$

Sehingga, diperoleh ${\displaystyle 0<{\dfrac {22}{7}}-\pi }$ atau ${\displaystyle \pi <{\dfrac {22}{7}}}$ .

Integral ini merupakan soal pertama pada Kompetisi Putnam tahun 1968.^[4]

Soal ini lebih mudah daripada soal kompetisi Putnam pada umumnya; kompetisi ini seringkali memberikan soal yang terlihat rumit, yang ternyata merujuk kepada sesuatu yang sangat akrab. Integral ini juga telah digunakan dalam ujian masuk Institut Teknologi India.^[5]

Hasil integral yang positif datang dari nilai integran yang non-negatif; bagian penyebutnya positif dan pembilangnya adalah hasil kali bilangan non-negatif. Dapat dengan mudah ditunjukkan kalau terdapat setidaknya satu titik pada interval integrasi yang nilai integrannya positif, misalnya ${\displaystyle {\dfrac {1}{2}}}$ . Oleh karena integrannya kontinuu pada titik tersebut dan nilai integrannya non-negatif pada titik lainnya, maka hasil integral dari 0 sampai 1 haruslah positif.

Yang tersisa adalah menunjukkan nilai integralnya sama dengan ${\displaystyle {\dfrac {22}{7}}-\pi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{1+x^{2}}}\,{\text{d}}x&=\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}-4x^{5}+6x^{6}-4x^{7}+x^{8}}{1+x^{2}}}\,{\text{d}}x&{\text{Hasil penjabaran suku-suku pada pembilang}}\\[8pt]&=\int _{0}^{1}\left(x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-4x^{2}+4-{\frac {4}{1+x^{2}}}\right)\,{\text{d}}x&{\text{Pembagian polinomial dengan cara bersusun}}&\\[8pt]&=\left.\left({\frac {x^{7}}{7}}-{\frac {2x^{6}}{3}}+x^{5}-{\frac {4x^{3}}{3}}+4x-4\arctan {x}\right)\,\right|_{0}^{1}&{\text{Teorema dasar kalkulus}}\\[6pt]&={\frac {1}{7}}-{\frac {2}{3}}+1-{\frac {4}{3}}+4-\pi &{\text{Ingat bahwa }}\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}{\text{ dan }}\arctan(0)=0\\[8pt]&={\frac {22}{7}}-\pi &{\text{Penjumlahan}}\end{aligned}}}$

(lihat Pembagian polinomial dengan cara bersusun dan Teorema dasar kalkulus)

Mengacu pada (Dalzell 1944), jika nilai ${\displaystyle x}$ pada penyebut diganti dengan ${\displaystyle 1}$ , maka akan diperoleh batas bawah dari integral tersebut, dan jika nilai ${\displaystyle x}$ pada penyebut diganti dengan ${\displaystyle 0}$ , maka akan diperoleh batas atas dari integralnya.^[6] Perhatikan bahwa

${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{4}\left(1-x\right)^{4}\,{\text{d}}x={\dfrac {1}{630}}\qquad {\text{dan}}\qquad \int _{0}^{1}{\dfrac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{2}}\,{\text{d}}x={\dfrac {1}{1260}}}$

Sehingga,

${\displaystyle {\begin{matrix}{\displaystyle \int _{0}^{1}{\dfrac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{2}}\,{\text{d}}x}&<&{\displaystyle \int _{0}^{1}{\dfrac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{1+x^{2}}}\,{\text{d}}x}&<&{\displaystyle \int _{0}^{1}{\dfrac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{1}}\,{\text{d}}x}\\{\dfrac {1}{1260}}&<&{\dfrac {22}{7}}-\pi &<&{\dfrac {1}{630}}\\-{\dfrac {1}{630}}&<&\pi -{\dfrac {22}{7}}&<&-{\dfrac {1}{1260}}\\{\dfrac {22}{7}}-{\dfrac {1}{630}}&<&\pi &<&{\dfrac {22}{7}}-{\dfrac {1}{1260}}\end{matrix}}}$

yang berarti ${\displaystyle 3.1412<\pi <3.1421}$ dalam representasi desimal. Batas tersebut menyimpang kurang dari ${\displaystyle 0.015\%}$ from ${\displaystyle \pi }$ . Lihat juga (Dalzell 1971).^[7]

Seperti yang telah dibahas pada (Lucas 2005), hampiran Diophantus ${\displaystyle {\dfrac {355}{113}}}$ yang terkenal dan estimasi atas yang lebih baik untuk ${\displaystyle \pi }$ dapat diperoleh dari

${\displaystyle 0<\int _{0}^{1}{\frac {x^{8}\left(1-x\right)^{8}\left(25+816x^{2}\right)}{3164\left(1+x^{2}\right)}}\,dx={\frac {355}{113}}-\pi }$

${\displaystyle {\frac {355}{113}}=3.141\,592\,92\ldots }$

dimana enam digit pertama setelah tanda koma serasi dengan enam digit pertama dari ${\displaystyle \pi }$ . Jika nilai ${\displaystyle x}$ pada penyebut diganti dengan ${\displaystyle 0}$ , maka akan diperoleh batas atas dari integral tersebut, yaitu

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{8}\left(1-x\right)^{8}\left(25+816x^{2}\right)}{3164}}\,dx={\frac {911}{2\,630\,555\,928}}\approx 0.000\,000\,173\ldots }$

Substitusikan nilai ${\displaystyle 1}$ pada variabel ${\displaystyle x}$ di bagian penyebut, maka diperoleh setengah dari nilai ini sebagai batas bawahnya, sehingga

${\displaystyle {\frac {355}{113}}-{\frac {911}{2\,630\,555\,928}}<\pi <{\frac {355}{113}}-{\frac {911}{5\,261\,111\,856}}}$

Dalam representasi desimal, ini artinya ${\displaystyle {\underline {3.141592}}57<\pi <{\underline {3.141592}}74}$ , dengan digit yang digarisbawahi pada batas bawah dan batas atas adalah digit yang serasi dengan bilangan ${\displaystyle \pi }$ .

• Hampiran dari ${\displaystyle \pi }$
• Kronologi dari komputasi bilangan ${\displaystyle \pi }$
• Teorema Lindemann–Weierstrass (bukti bahwa ${\displaystyle \pi }$ adalah Bilangan transenden)
• Daftar topik yang berkaitan dengan ${\displaystyle \pi }$
• Bukti bahwa ${\displaystyle \pi }$ merupakan bilangan irasional

• The problems of the 1968 Putnam competition, with this proof listed as question A1.