Bilangan prima Sophie Germain

Dalam teori bilangan, suatu bilangan prima ${\displaystyle p}$ adalah bilangan prima Sophie Germain jika ${\displaystyle 2p+1}$ juga bilangan prima. Bilangan ${\displaystyle 2p+1}$ yang terkait dengan bilangan prima Sophie Germain disebut bilangan prima aman (safe prime). Sebagai contoh, 11 adalah bilangan prima Sophie Germain dan ${\displaystyle 2\times 11+1=23}$ adalah bilangan prima aman yang terkait dengannya. Bilangan prima Sophie Germain dinamai menurut seorang matematikawan berkebangsaan Prancis yang bernama Sophie Germain, yang digunakan olehnya dalam penelitiannya mengenai Teorema Terakhir Fermat.^[1] Percobaan Germain untuk membuktikan Teorema Terakhir Fermat adalah memisalkan ${\displaystyle p}$ adalah bilangan prima dengan bentuk ${\displaystyle 8k+7}$ dan memisalkan ${\displaystyle n=p-1}$. Pada kasus ini, ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$ belum terpecahkan. Akan tetapi, bukti Germain masih belum selesai.^[2][3] Melalui percobaannya untuk membuktikan Teorema Terakhir Fermat, Germain mengembangkan hasil yang kini dikenal sebagai teorema Germain, yang mengatakan bahwa jika ${\displaystyle p}$ adalah bilangan prima ganjil dan ${\displaystyle 2p+1}$ bilangan prima pula, maka ${\displaystyle p}$ harus membagi ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, atau ${\displaystyle z}$; jika tidak, ${\textstyle x^{n}+y^{n}\neq z^{n}}$. Kasus yang menyatakan ${\displaystyle p}$ tidak membagi ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, atau ${\displaystyle z}$ disebut kasus pertama. Karya Sophie Germain’s memberikan kemajuan terbesar mengenai teorema terakhir Fermat pada kala itu.^[2] Karya selanjutnya oleh Kummer dan matematikawan lainnya selalu membagi permasalahan tersebut menjadi kasus pertama dan kedua. Bilangan prima Sophie Germain dan bilangan prima aman memiliki penerapan dalam kriptografi kunci publik dan uji primalitas. Adapun konjektur yang mengatakan bahwa terdapat tak berhingganya banyaknya bilangan prima Sophie Germain, tetapi masih belum terbuktikan.