Եռանկյունաչափություն

Շումերյան աստղագետները ուսումնասիրել են անկյան չափումը, շրջանները 360 աստիճանների բաժանելով^[2]։ Նրանք, հետագայում նաև բաբելոնացիները ուսումնասիրել են նման եռանկյունների կողմերի հարաբերակցությունը և հայտնաբերել այդ հարաբերակցության որոշ հատկություններ, սակայն այն՝ եռանկյունների կողմերն ու անկյունները գտնելու համակարգված մեթոդի չվերածեցին։ Հին նուբիացիները նմանատիպ մեթոդ էին օգտագործում^[3]։

Մ․թ․ա․ 3-րդ դարում հույն մաթեմատիկոսները՝ Էվկլիդես, Արքիմեդես, և այլք ուսումնասիրում էին շրջանների լարերի և ներգծված անկյունների հատկությունները և ժամանակակից եռանկյունաչափական բանաձևերին համարժեք թեորեմներ ապացուցեցին, չնայած դրանք ներկայացրել էին ավելի շուտ երկրաչափորեն, քան հանրահաշվորեն։ Մ․թ․ա․ 140 թվականին Հիպարքոսը (Նիկիայից, Փոքր Ասիա) լարերի առաջին աղյուսակն է ներկայացրել, ժամանակակից եռանկյունաչափական աղյուսակների անալոգը և դրանք օգտագործել է եռանկյունաչափական խնդիրներ և գնդային եռանկյունաչափության խնդիրներ լուծելու համար^[4]։ Մ.թ.ա. 2-րդ դարում, հունա-եգիպտական աստղագետ Պտղոմեոսը (Ալեքսանդրիայից, Եգիպտոս) իր առաջին գրքի 11-րդ գլխում կառուցեց եռանկյունաչափական մանրամասն աղյուսակներ^[5]։ Պտղոմեոսն իր եռանհյունաչափական ֆունկցիաները սահմանելու համար օգտագործում է լարի երկարությունը, որոնք քիչ ենտարբերվում սինուսից, որ օգտագործում ենք այսօր^[6]։ Մինչ ավելի մանրամասն աղյուսակների ստեղծումը դարեր անցան, իսկ Պտղոմեոսի տրակտատը հետագա 1200 տարիներին շարունակում էր օգտագործվել աստղագիտական եռանկյունաչափական հաշվարկներում միջին դարերի Բյուզանդիայում, արաբամուսուլմանական, և, հետագայում նաև Եվրոպական աշխարհում։

Սինուսի ժամանակակից ընկալումը առաջին անգամ հաստատվել է Surya Siddhanta-ում, իսկ դրա հատկությունները հետագայում փաստագրվել են 5-րդ դարում հնդիկ մաթեմատիկոս և աստղագետ Արյաբհատայի կողմից^[7]։ Այս հունական և հնդկական աշծատանքները թարգմանվել և զարգացվել են միջնադարյան մուսուլման մաթեմատիկոսների կողմից։ Արդեն 10-րդ դարում մուսուլման մաթեմատիկոսները օգտագործում էին բոլոր վեց եռանկյունաչափական ֆունկցիաները, դրանց արժեքների աղյուսակներ էին կազմում և կիրառում գնդաձև երկրաչափության խնդիրներում^[8][9]։ Պարսիկ էրուդիտ Նասր ալ-Դին Թուսին նկարագրվում էր որպես եռանկյունաչափության, որպես առանձին մաթեմատիկական ճյուղի, ստեղծող^[10][11][12]։ Նասր ալ-Դին Թուսին առաջինն էր, որ եռանկյունաչափությունը դիտարկեց որպես աստղագիտությունից անկախ մաթեմատիկական բնագավառ և նա ջնդձև եռանկյունաչափությունը զարգացրեց ներկայիս ձևաչափին^[13]։ Նա գնդաձև եռանկյունաչափության մեջ թվարկել էր ուղղանկյուն եռանկյան վեց տարբեր դեպքեր և իր On the Sector Figure աշխատանքում սահմանեց հարթ և գնդաձև եռանկյունների օրենքը, գնդաձև եռանկյունների համար հայտնաբերեց տանգենսների օրենքը և երկու օրենքի համար էլ ապացույց ապահովեց^[14]։ Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների և մեթոդների վերաբերյալ գիտելիքը Արևմտյան Եվրոպա հասավ Պտղոմեոսի հունական Ալմագեստի լատիներեն թարգմանությունների, ինչպես նաև պարսկական և արաբ աստղագետների՝ Ալ Բաթանիի և Նասիր ալ-Դին ալ-Թուսիի աշխատանքների միջոցով^[15]։ Եռանկյունաչափությանը նվիրված ամենավաղ աշխատանքներից մեկը, որ կատարվել էր Հյուսիսային Եվրոպայի մաթեմատիկոսների կողմից, դա 15-րդ դարի գերմանացի մաթեմատիկոս Ռեգիոմոնտանուսի Տրիանգուլիս աշխատությունն է։ Ռեգիոմոնտանուսին Ալմագեստի պատճենը տրամադրել է և աշխատանքներում խրախուսել բյուզանդական հույն գիտնական կարդինալ Բասիլիոս Բեսարիոնը^[16]։ Միևնույն ժամանակ, Ալմագեստի հունարենից լատիներեն մեկ այլ թարգմանություն ավարտեց Գեորգը Տրապիզոնից^[17]։ 16-րդ դարում եռանկյունաչափությունը դեռևս քիչ էր հայտնի Հյուսիսային Եվրոպայում, որ Նիկոլայ Կոպեռնիկոսը իր գրքի երկու գլուխ նվիրեց եռանկյունաչափական հասկացությունները բացատրելու համար։

Նավիգացիայի պահանջների և մեծ աշխարհագրական տարածքների ճշգրիտ քարտեզագրման անհրաժեշտությունից ելնելով, եռանկյունաչափությունը վերաճեց մաթեմատիկայի հիմնական ճյուղի^[18]։ Bartholomaeus Pitiscus was the first to use the word, publishing his Trigonometria in 1595.^[19] Գեմմա Ֆրիսիուսը առաջինը նկարագրեց տրիանգուլյացիայի մեթոդը, որը մինչ այժմ օգտագործվում է գեոդեզիայում։ Իսկ Լեոնարդ Էյլերը կոմպլեքս թվերն ամբողջությամբ մտցրեց եռանկյունաչափության մեջ։ Շոտլանդացի մաթեմատիկոսներ Ջեյմս Գրեգորիի 17-րդ դարում և Քոլին ՄաքԼորինի 18-րդ դար, աշխատանքներն ազդեցություն ունեցան եռանկյունաչափական շարքերի զարգացման վրա^[20]։ Also in the 18-րդ դարում Բրուք Թեյլորը սահմանեց Թեյլորի հիմնական շարքը^[21]։Հին հունական մաթեմատիկոսները շրջանագծի աղեղը հաշվելու համար օգտագործում էին լարերի մեթոդը։ Շրջանագծի կենտրոնից լարին տարված ուղղահայցը երկու հավասար մասի է բաժանում աղեղն ու նրան հենված լարը։

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաները դրանք ուղղանկյան կողմերի միջև հարաբերություններն են։ Այս հարաբերությունները ներկայացվում են A հայտի անկյան հետևյալ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներով, որտեղ a, b և c-ն վերաբերում են նկարում ներկայացված եռանկյան կողմերի երկարություններն են․

• Սինուս ֆունկցիա (sin), սահմանվում է որպես անկյան դիմացի կողմի հարաբերությունը ներքնաձիգին։

${\displaystyle \sin A={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {a}{c}}.}$

• Կոսինուս ֆունկցիան (cos), սահմանվում է որպես անկյան կից կողմի հարաբերությունը ներքնաձիգին։

${\displaystyle \cos A={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {b}{c}}.}$

• Տանգենս ֆունկցիան(tan), սահմանվում է որպես անկյան դիմացի կողմի հարաբերությունը կից կողմին։

${\displaystyle \tan A={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {adjacent}}}={\frac {a}{b}}={\frac {a/c}{b/c}}={\frac {\sin A}{\cos A}}.}$

Քանի որ միևնույն A սուր անկյամբ երկու ուղղանկյուն եռանկյուն նման են^[22],, ուստի եռանկյունաչափական ֆունկցիաները կախված են միայն A անկյունից։

Այս ֆունկցիաների մուլտիպլիկատիվ ինվերսիաները համապատասխանաբար կոչվում են cosecant (csc), secant (sec), և cotangent (cot)․

${\displaystyle \csc A={\frac {1}{\sin A}}={\frac {\textrm {hypotenuse}}{\textrm {opposite}}}={\frac {c}{a}},}$

${\displaystyle \sec A={\frac {1}{\cos A}}={\frac {\textrm {hypotenuse}}{\textrm {adjacent}}}={\frac {c}{b}},}$

${\displaystyle \cot A={\frac {1}{\tan A}}={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {opposite}}}={\frac {\cos A}{\sin A}}={\frac {b}{a}}.}$

Փաստացի, կամայական եռանկյան վերաբերյալ հարցերին այս ֆունկցիաների միջոցով հնարավոր է պատասխանել, օգտվելով սինուսի և կոսինուսի օրենքներից^[23]։ Այս օրենքների օգնությամբ հնարավոր է հաշվել անհայտ անկյունները և կողմերը, եթե տրված են երկու կողմը և նրանց միջև ընկած անկյունը, երկու անկյունը և նրանց ընդհանուր կողմը կամ երբ տրված են եռանկյան երեք կողմերը։

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաները կարող են ներկայացվել նաև միավոր շրջանի օգնությամբ, որն իրենից ներկայացնում է 1 շառավղով շրջան, կենտրոնը կոորդինատային հարթության սկզբնակետում^[24]։ In this setting, the terminal side of an angle A placed in standard position will intersect the unit circle in a point (x,y), where ${\displaystyle x=\cos A}$ and ${\displaystyle y=\sin A}$ .^[24] This representation allows for the calculation of commonly found trigonometric values, such as those in the following table^[25]:

Ֆունկցիա	0	${\displaystyle \pi /6}$	${\displaystyle \pi /4}$	${\displaystyle \pi /3}$	${\displaystyle \pi /2}$	${\displaystyle 2\pi /3}$	${\displaystyle 3\pi /4}$	${\displaystyle 5\pi /6}$	${\displaystyle \pi }$
սինուս	0	${\displaystyle 1/2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$	1	${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$	${\displaystyle 1/2}$	0
կոսինուս	1	${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$	${\displaystyle 1/2}$	0	${\displaystyle -1/2}$	${\displaystyle -{\sqrt {2}}/2}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}/2}$	-1
Տանգենս	0	${\displaystyle {\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	անորոշ	${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}/3}$	0
սեկանս	1	${\displaystyle 2{\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2}$	undefined	${\displaystyle -2}$	${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle -2{\sqrt {3}}/3}$	-1
կոսեկանս	անորոշ	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2{\sqrt {3}}/3}$	1	${\displaystyle 2{\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2}$	անորոշ
կոտանգենս	uանորոշ	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}/3}$	0	${\displaystyle -{\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$	uանորոշ

Միավոր շրջանն օգտագործելով եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանումները հնարավոր է ընդլայնել ընդհուպ մինչև բոլոր դրական և բացասական արգումենտների վրա^[26] (տես եռանկյունաչափական ֆունկցիա)։

Հետևյալ աղյուսակը ամփոփում է եռանկյունաչափական վեց հիմնական ֆունկցիաների գրաֆիկների հատկությունները․^[27][28]

Ֆունկցիա	Ժամանակահատված	Տիրույթ	Միջակայք	Գրաֆիկ
սինուս	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$	${\displaystyle [-1,1]}$
կոսինուս	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$	${\displaystyle [-1,1]}$
տանգենս	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle x\neq \pi /2+n\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$
սեկանս	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle x\neq \pi /2+n\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,\infty )}$
կոսեկանս	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle x\neq n\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,\infty )}$
կոտանգենս	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle x\neq n\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$

Քանի որ վեց եռանկյունաչափական ֆունկցիաները պարբերական են, նրանք ինյեկտիվ (կամ, 1-ը 1-ին) չեն, ուստի և հակադարձելի չեն։ Այնուամենայնիվ սահմանափակելով եռանկյունաչափական ֆունկցիայի տիրույթը, այն կարելի է դարձնել հակադարձելի^[29]։^:48ffՀակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների անունները, իրենց տիրույթների և միջակայքերի հետ մեկտեղ տրված է հետևյալ աղյուսակում․^{[29]:48ff[30]:521ff}

Անվանում	Ընդունված նշանակում	Սահմանում	x-ի տիրույթը իրական արդյունքի համար	Հիմնական արժեքի միջակայք (ռադիան)	Հիմնական արժեքի միջակայք (աստիճան)
արկսինուս	y = arcsin(x)	x = sin(y)	−1 ≤ x ≤ 1	−${\displaystyle \pi }$ 2 ≤ y ≤ ${\displaystyle \pi }$ 2	−90° ≤ y ≤ 90°
արկկոսինուս	y = arccos(x)	x = cos(y)	−1 ≤ x ≤ 1	0 ≤ y ≤ ${\displaystyle \pi }$	0° ≤ y ≤ 180°
արկտանգենս	y = arctan(x)	x = tan(y)	բոլոր իրական թվեր	−${\displaystyle \pi }$ 2 < y < ${\displaystyle \pi }$ 2	−90° < y < 90°
արկկոտանգենս	y = arccot(x)	x = cot(y)	բոլոր իրական թվեր	0 < y < ${\displaystyle \pi }$	0° < y < 180°
արկսեկանս	y = arcsec(x)	x = sec(y)	x ≤ −1 or 1 ≤ x	0 ≤ y < ${\displaystyle \pi }$ 2 or ${\displaystyle \pi }$ 2 < y ≤ ${\displaystyle \pi }$	0° ≤ y < 90° or 90° < y ≤ 180°
արկկոսեկանս	y = arccsc(x)	x = csc(y)	x ≤ −1 or 1 ≤ x	−${\displaystyle \pi }$ 2 ≤ y < 0 or 0 < y ≤ ${\displaystyle \pi }$ 2	−90° ≤ y < 0° or 0° < y ≤ 90°

Երբ եռանկյունաչափական հարաբերությունները դիտարկվում են որպես իրական փոփոխականի ֆունկցիաներ, դրանք կարող են ներկայացվել անվերջ շարքի օգնությամբ։ Օրինակ սինուսը և կոսինուսը հետևյալ կերպ են ներկայացվում․^[31]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos x&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.\end{aligned}}}$

Այս կերպ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները կարող են սահանվել կոմպլեքս թվերի համար^[32]։ Ընդլայնելով որպես իրական կամ կոմպլեքս փոփոխականների ֆունկցիաներ, կոմպլեքս էքսպոնենցիալի համար տեղի կունենա Էյլերի բանաձևը․

${\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y).}$

Հատկապես օգտակար է այս էքսպոնենցիալ ֆունկցիան գրված եռանկյունաչափական ֆունկցիաների տերմիններով^[33][34]։

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաները մաթեմատիկական աղյուսակների կիրառման ամենավաղ օրինակներից են^[35]։ Այդ աղյուսակները ներառված էին մաթեմատիկական դասագրքերում և ուսանողներին սովորեցնում էին ինչպես գտնել արժեքները և ինչպես ինտերպոլյացիայի միջոցով ավելի ճշգրիտ արժեքներ ստանալ^[36]։ Եռանկյունաչափական քանոնը հատուկ բաժանումներ ունի եռանկյունաչափական ֆունկցիաների համար^[37]։

Գիտական հաշվիչը հիմնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաների (sin, cos, tan, և երբեմն Էյլերի բանաձևի և դրանց հակադարձ ֆունկցիաների) հաշվարկի համար կոճակներ ունի^[38]։ Շատերը թույլ են տալիս անկյան չափման մեթոդի ընտրություն․ աստիճան, ռադիան, երբեմն և գրադիենտ։ Շատ ծրագրավորման լեզուներ ապահովում են գրադարաններ, որոնք ներառում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ^[39]։ Անհատական կոմպյութերի միկրոպրոցեսային չիպերում այլ ֆունկցիաների հետ մեկտեղ ներդրված են նաև եռանկյունաչափական ֆունկցիաները^[40]։

Դարեր շարունակ գնդաձև եռանկյունաչափությունն օգտագործվել է արևի, լուսնի և աստղերի դիրքերը որոշելու համար^[41], խավարումները կանխագուշակելու և մոլորակների ուղեծրերը նկարագրելու համար^[42]։

Մեր ժամանակներում, տրիանգուլյացիայի տեխնիկան օգտագործվում է աստղագիտության մեջ՝ մոտակա աստղերից հեռավորությունը չափելու համար^[43], Ինչպես նաև արբանյակային նավիգացիայի համակարգերում^[9]։

Պատմականորեն եռանկյունաչափությունն օգտագործվում էր առագաստանավերի տեղակայման լայնություններն ու երկայնությունները որոշելու, նավարկման պլանավորման և դրա ընթացքում հեռավորությունները հաշվելու համար^[44]։

Եռանկյունաչափությունը շարունակվում է օգտագործվել նավիգացիայում այնպիսի միջոցներով Global Positioning System և արհեստական ինտելեկտով ավտոնոմ տրանսպորտային միջոցների համար^[45]։

Գեոդեզիայում եռանկյունաչափությունն օգտագործվում է երկարության, մակերեսի և օբյեկտների միջև հարաբերական անկյունները հաշվելու համար^[46]։

Ավելի լայն մասշտաբով, եռանկյունաչափությունը օգտագործվում է աշխարհագրության մեջ, կողմնորոշիչ նշանների միջև հեռավորությունները չափելու համար^[47]։

Սինուս և կոսինուս ֆունկցիաները հիմնարար են պարբերական ֆունկցիաների տեսության համար^[48], ինչպիսիք են ձայնը և լույսը նկարագրող ալիքները։ Ֆուրիեն բացահայտեց որ յուրաքանչյուր անընդհատ ֆունկցիա, պարբերական ֆունկցիա կարող է ներկայացվել եռանկյունաչափական ֆունկցիաների անվերջ գումարի տեսքով։

Նույնիսկ պարբերական ֆունկցիաները կարող են ներկայացվել որպես սինուսների և կոսինուսների ինտեգրալ, Ֆուրիեի ձևափոխության միջոցով։ Սա կիրառություն ունի շատ ոլորտներում, ներառյալ քվանտային մեխանիկայում^[49] և կապի ոլորտում^[50]։

Եռանկյունաչափությունն օգտակար է շատ ֆիզիկական գիտություններում^[51], ներառյալ ձայնագիտությունը^[52], և օպտիկան^[52]։ Այս ոլորտներում նրանք օգտագործվում են նկարագրելու ձայնային և լուսային ալիքները, ինչպես նաև լուծելու սահմանային փոխանցման հետ կապված խնդիրները^[53]։

Եռանկյունաչափություն կամ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ օգտագործող այլ ոլորտներ են երաժշտության տեսություն^[54], գեոդեզիա, սինթեզատոր^[55], ճարտարապետություն^[56], էլեկտրոնիկա^[54], կենսաբանություն^[57], բժշկական վիզուալիզացիա (CT scans և ուլտրաձայն)^[58], քիմիա^[59], թվերի տեսություն (և հետևաբար կրիպտոլոգիա)^[60], սեյսմոլոգիա^[52], օդերևութաբանություն^[61], օվկիանոսագիտություն^[62], պատկերի սեղմում^[63], հնչյունաբանություն^[64], տնտեսագիտություն^[65], էլեկտրական ճարտարագիտություն, մեխանիկական ճարտարագիտություն, քաղաքացիական շինարարություն^[54], համակարգչային գրաֆիկա^[66], քարտեզագրություն^[54], Բյուրեղագիտություն^[67] և խաղերի մշակում^[66]։

Եռանկյունաչափությունը հիշարճան է իր բազմաթիվ նույնություններով՝ հավասարումներով, որոնք ճիշտ են բոլոր հնարավոր մուտքերի համար^[68]։

Միայն անկյուններ պարունակող նույնությունները հայտնի են որպես եռանկյունաչափական նույնություններ. մյուս հավասարումները, որ վերաբերում են տրված եռանկյան թե կողմերին և թե անկյուններին, հայտնի են որպես եռանկյան նույնություններ^[69],։

Հետևյալ նույնություններում A, B և C եռանկյան անկյուններն են, իսկ a, b և c անկյունների հանդիպակած կողմերի երկարություններն են։ (ինչպես ցույց է տրված դիագրամում)^[70]։

Կամայական եռանկյան համար սինուսի օրենքը պնդում է^[71]։

${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R={\frac {abc}{2\Delta }},}$

որտեղ ${\displaystyle \Delta }$ եռանկյան մակերեսն է և R-ը եռանկյան արտագծծյալ շրջանագծի շառավիղը։

${\displaystyle R={\frac {abc}{\sqrt {(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)}}}.}$

Կոսինուսի օրենքը (հայտնի որպես կոսինուսի բանաձև) Պյութագորասի թեորեմի ընդլայնումն է կամայական եռանկյունների համար^[71]։

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,}$

կամ համարժեք․

${\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.}$

Տանգենսների օրենքը, որ մշակվել էր Ֆրանսուա Վիետի կողմից, կոսինուսների օրենքի այլընտրանքն է, երբ պետք է գտնել եռանկյան անհայտ կողմը, ապահովելով պարզ հաշվարկներ եռանկյունաչափական աղյուսակներ օգտագործելիս^[72]։ Այն ներկայացվում է․

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(A-B)\right]}{\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(A+B)\right]}}}$

Տրված է եռանկյան երկու կողմերը՝ a և b և դրանց միջև ընկած C անկյունը, եռանկյան մակերեսը ներկայացվում է որպես երկու կողմերի և դրանց միջև ընկած անկյան սինուսի արտադրյալ^[71]։

Հերոնի բանաձևը եռանկյան մակերեսը հաշվելու մեկ այլ եղանակ է։ Եթե եռանյունը ունի This formula states that if a triangle has sides of lengths a, b և c երկարությամբ կողմեր, և պարագիծը

${\displaystyle s={\frac {1}{2}}(a+b+c),}$

ապա եռանկյան մակերեսը հավասար է․^[73]

${\displaystyle {\mbox{Area}}=\Delta ={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}={\frac {abc}{4R}}}$ ,

որտեղ R-ը եռանկյան արտագծյալ շրջանագծի շառավիղն է։

${\displaystyle {\mbox{Մակերեսը}}=\Delta ={\frac {1}{2}}ab\sin C.}$

Հետևյալ եռանկյունաչափական նույնությունները վերաբերում են Պյութագորասի թեորեմին և տեղի ունեն ցանկացած արժեքի համար․^[74]

${\displaystyle \sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1\ }$

${\displaystyle \tan ^{2}A+1=\sec ^{2}A\ }$

${\displaystyle \cot ^{2}A+1=\csc ^{2}A\ }$

Էյլերի բանաձևը պնդում է ${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$ , հետևում է անալիտիկ նույնությունը սինուսի, կոսինուսի և տանգենսի արտահայտված e և i կեղծ միավորի տերմիններով։

${\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},\qquad \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \tan x={\frac {i(e^{-ix}-e^{ix})}{e^{ix}+e^{-ix}}}.}$

Այլ եռանկյունաչափական նույնությունների թվում են անկյան կիսորդի, անկյունների գումարի և տարբերության, գումարի արտադրյալի նույնությունները^[22]։