Ենթաբազմություն

${\displaystyle A}$ բազմությունը համարվում է ${\displaystyle B}$ բազմության ենթաբազմություն, եթե ${\displaystyle A}$ -ին պատկանող ցանկացած տարր պատկանում է նաև ${\displaystyle B}$ -ին։

${\displaystyle (A\subset B)\Leftrightarrow (x\in A\Rightarrow x\in B).}$

Ենթաբազմությունների համար գոյություն ունեն երկու սիմվոլիկ նշանակումներ.

«${\displaystyle A}$ -ն ${\displaystyle B}$ -ի ենթաբազմություն է». նշանակվում է	«${\displaystyle A}$ -ն ${\displaystyle B}$ -ի սեփական ենթաբազմություն է». նշանակվում է	Ծանոթություն
${\displaystyle A\subseteq B}$	${\displaystyle A\subset B}$	${\displaystyle \subseteq }$ սիմվոլի արտաքին տեսքը ցույց է տալիս, որ եթե ${\displaystyle A=B}$ , ապա ${\displaystyle A\subseteq B}$ .
${\displaystyle A\subset B}$	${\displaystyle A\subsetneq B}$	«Ենթաբազմության» հասկացության համար օգտագործվում է ավելի պարզ սիմվոլ, քանի որ այդ հասկացությունն ավելի հիմնավոր է։

Ցավոք, նշանակումների երկու համակարգերն էլ օգտագործում են ${\displaystyle \subset }$ տարբեր իմաստներով, որը կարող է շփոթության բերել։Այստեղ կօգտագործենք նշանակումների վերջին համակարգը։${\displaystyle A}$ բազմության բոլոր ենթաբազմությունների բազմությունը նշանակվում է ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$ :

Ցանկացած ${\displaystyle B}$ բազմություն համարվում է իր ենթաբազմությունը։ Եթե ցանկանում ենք ${\displaystyle B}$ բազմությունը բացառել դիտարկումից, օգտվում ենք սեփական ենթաբազմության հասկացությունից, որը սահմանվում է.

${\displaystyle A}$ բազմությունը համարվում է ${\displaystyle B}$ բազմության սեփական ենթաբազմություն, եթե ${\displaystyle A\subset B}$ և ${\displaystyle A\neq B}$ :

Դատարկ բազմությունը ցանկացած բազմության ենթաբազմություն է։ Եթե ցանկանում ենք բացառել նաև դատարկ բազմությունը, օգտվում ենք ոչ տրիվիալ ենթաբազմության հասկացությունից, որը սահմանվում է հետևյալ կերպ.

${\displaystyle A}$ բազմությունը համարվում է ${\displaystyle B}$ բազմության ոչ տրիվիալ ենթաբազմություն, եթե ${\displaystyle A}$ -ն ${\displaystyle B}$ -ի սեփական ենթաբազմություն է և ${\displaystyle A\neq \varnothing }$ :

• ${\displaystyle \varnothing ,\{0\},\{1,3,4\}}$ բազմությունները ${\displaystyle \{0,1,2,3,4,5\}}$ բազմության ենթաբազմություններ են։
• ${\displaystyle \{\varnothing ,\uparrow ,moose\},\{\$,\%,*,\uparrow \},\{\varnothing \},\varnothing }$ բազմությունները ${\displaystyle \{\$,\%,\varnothing ,\uparrow ,*,moose\}}$ բազմության ենթաբազմություններ են։
• Եթե ${\displaystyle A=\{a,b\}}$ , ապա ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)=\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}}$ :
• Եթե ${\displaystyle A=\{1,2,3,4,5\},\;B=\{1,2,3\},\;C=\{4,5,6,7\}}$ , ապա ${\displaystyle B\subset A,\;C\not \subset A}$ :

Ենթաբազմության հարաբերությունն օժտված է մի շարք հատկություններով^[1]

• Ենթաբազմության հարաբերությունը մասնակի կարգավորված հարաբերություն է.
  • Ենթաբազմության հարաբերությունը ռեֆլեքսիվ է.

    ${\displaystyle B\subset B}$

  • Ենթաբազմության հարաբերությունը անտիսիմետրիկ է.

    ${\displaystyle (A\subset B\;\land \;B\subset A)\Leftrightarrow (A=B)}$

  • Ենթաբազմության հարաբերությունը տրանզիտիվ է.

    ${\displaystyle (A\subset B\;\land \;B\subset C)\Rightarrow (A\subset C)}$

• Դատարկ բազմությունը ցանկացած բազմության ենթաբազմություն է, այդ պատճառով այն ենթաբազմության հարաբերության նկատմամբ փոքրագույն բազմությունն է.

  ${\displaystyle \varnothing \subset B}$

• Ցանկացած ${\displaystyle A}$ և ${\displaystyle B}$ երկու բազմությունների համար հետևյալ պնդումները համարժեք են.
  • ${\displaystyle A\subset B}$
  • ${\displaystyle A\cap B=A}$
  • ${\displaystyle A\cup B=B}$
  • ${\displaystyle B^{\complement }\subset A^{\complement }}$

Եթե ելակետային բազմությունը վերջավոր է, ապա այն ունի վերջավոր քանակով ենթաբազմություններ։ Ավելի ստույգ, ${\displaystyle n}$ տարր ունեցող բազմությունն ունի ${\displaystyle 2^{n}}$ ենթաբազմություններ, ներառյալ դատարկ բազմությունը։ Դրանում համոզվելու համար բավական է նկատել, որ յուրաքանչյուր տարր կարող է պատկանալ կամ չպատկանալ ենթաբազմությանը, նշանակում է, ենթաբազմությունների ընդհանուր քանակը կլինի երկյակների ${\displaystyle n}$ -ապատիկ արտադրյալը։ Եթե դիտարկենք ${\displaystyle n}$ տարր ունեցող բազմության միայն ${\displaystyle k\leq n}$ տարր ունեցող ենթաբազմությունները, ապա նրանց քանակը կարտահայտվի ${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}}$ բինոմալ գործակցով։ Այս փաստը ստուգելու համար կարելի է հաջորդաբար ընտրել ենթաբազմության տարրերը։ Առաջին տարրը կարելի է ընտրել ${\displaystyle n}$ եղանակով, երկրորդը ${\displaystyle n-1}$ եղանակով, և այսպես շարունակ, ${\displaystyle k}$ -րդ տարրը՝ ${\displaystyle n-k+1}$ : Այսպիսով, ստանում ենք ${\displaystyle k}$ տարրից բաղկացած հաջորդականություն, և ճիշտ ${\displaystyle k!}$ այդպիսի հաջորդականություններին համապատասխանում է մեկ ենթաբազմություն։ Նշանակում է, գտնվում են այդպիսի ${\displaystyle \textstyle {\frac {n(n-1)\dots (n-k+1)}{k!}}={\binom {n}{k}}}$ ենթաբազմություններ։

• Верещагин Н. К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств.. — 3-е изд., стереотип. — М.: МЦНМО, 2008. — 128 с. — ISBN 978-5-94057-321-0 (ռուս.)