Գնդային ֆունկցիաներ

Գնդային ֆունկցիաներ հանդիսանում է գնդային կոորդինատային համակարգի Լապլասի օպերատորի սեփական ֆունկցիա (նշանակվում է ${\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )}$ )։ Նրանք կազմում են երկչափ գնդային ֆունկցիայի հարթությունում օրթոնորմավորված համակարգ․

${\displaystyle \langle Y_{l}^{m};Y_{l}^{m}\rangle =\iint |Y_{l}^{m}|^{2}\sin {\theta }\,d\theta \,d\varphi =1}$

${\displaystyle \langle Y_{l}^{m};Y_{l'}^{m'}\rangle =\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }Y_{l'}^{m'*}Y_{l}^{m}\sin {\theta }\,d\theta \,d\varphi =\delta _{ll'}\delta _{mm'}}$ ,

որտեղ ^* նշանակում է կոմպլեքս զուգակցում, ${\displaystyle \delta _{ll'}}$ -Կրոնեկերի նշան։

Գնդային ֆունկցիան ունի ${\displaystyle Y_{l}^{m}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{im\varphi }\Theta _{lm}(\theta )}$ , տեսքը․

որտեղ ${\displaystyle \Theta _{lm}(\theta )}$ ֆունկցիան հանդիսանումէ հավասարման արմատ

և ունի հետևյալ տեսքը․

${\displaystyle \Theta _{l}^{m}={\sqrt {{\frac {2l+1}{2}}{\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}}}P_{l}^{m}(\cos \theta )}$

Այստեղ ${\displaystyle P_{l}^{m}(\cos \theta )}$ -Լեժանդրի միավորված բազմանդամներն են, իսկ ${\displaystyle m!}$ -ֆակտորիալը։

Լեժանդրի բացասական ${\displaystyle m}$ ունեցող միավորված բազմանդամները գրառվում են․

${\displaystyle P_{\ell }^{-m}(x)=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}(x)}$

Լապլասի հավասարման լուծումը գնդաձև համակարգերում ունի այսպես կոչված գնդային գործառույթ, որը ձեռք է բերվում գնդաձև ֆունկցիայի բազմապատկմամբ շառավղային հավասարման լուծման վրա։

Գնդային ֆունկցիաների համար անկյունից կախվածության ձևը ${\displaystyle \varphi }$ կոմպլեքս էքսպոնենտ է։ Օգտագործելով Էյլերի բանաձևը, կարելի է մուտքագրել իրական գնդաձև ֆունկցիաները։

Երբեմն դրանք ավելի հարմար է օգտագործել պայմանավորված նրանով, որ իրական գործառույթները կարող են ավելի տեսանելի ցուցադրվել, ի տարբերություն բարդի։

${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{\ell m}&={\begin{cases}\displaystyle {i \over {\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{m}-(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{-m}\right)&{\text{ }}\ m<0\\\displaystyle Y_{\ell }^{0}&{\text{ }}\ m=0\\\displaystyle {1 \over {\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-m}+(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{m}\right)&{\text{ }}\ m>0.\end{cases}}\\&={\begin{cases}\displaystyle {\sqrt {2}}\,(-1)^{m}\,\operatorname {Im} [{Y_{\ell }^{|m|}}]&{\text{ }}\ m<0\\\displaystyle Y_{\ell }^{0}&{\text{ }}\ m=0\\\displaystyle {\sqrt {2}}\,(-1)^{m}\,\operatorname {Re} [{Y_{\ell }^{m}}]&{\text{ }}\ m>0.\end{cases}}\end{aligned}}}$

Հակառակ ձևափոխությունը․

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}={\begin{cases}\displaystyle {1 \over {\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}-iY_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{ }}\ m<0\\\displaystyle Y_{\ell 0}&{\text{ }}\ m=0\\\displaystyle {(-1)^{m} \over {\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}+iY_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{ }}\ m>0.\end{cases}}}$

Երբեմն իրական գնդաձև ֆունկցիաները անվանում են տարածքային, տեսերալ և սեկտորային^[1]։

m > 0 ֆունկցիաները կախված են անկյան կոսինուսից, իսկ m < 0 -սինուսից։

${\displaystyle Y_{\ell m}={\begin{cases}\displaystyle (-1)^{m}{\sqrt {2}}{\sqrt {{2\ell +1 \over 4\pi }{(\ell -|m|)! \over (\ell +|m|)!}}}\ P_{\ell }^{|m|}(\cos \theta )\ \sin(|m|\varphi )&{\mbox{ }}m<0\\\displaystyle {\sqrt {2\ell +1 \over 4\pi }}\ P_{\ell }^{m}(\cos \theta )&{\mbox{ }}m=0\\\displaystyle (-1)^{m}{\sqrt {2}}{\sqrt {{2\ell +1 \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}\ P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ \cos(m\varphi )&{\mbox{ }}m>0\,.\end{cases}}}$

Ուումնասիրենք Էյլերի ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,}$ անկյամբ պտտված ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ կոորդինատային համակարգը, որը ձևափոխում է ${\displaystyle \mathbf {r} }$ միավոր վեկտորը ${\displaystyle {\mathbf {r} }'}$ -ի։ Ընդ որում, նոր կոորդինատային համակարգում ${\displaystyle {\mathbf {r} }'}$ վեկտրի ${\displaystyle \theta ',\varphi '}$ անկյունները արտահայտվում են հետևյալ եղանակով․

${\displaystyle \cos \theta ^{\prime }=\cos \theta \cos \beta +\sin \theta \sin \beta \cos(\varphi -\alpha )}$

${\displaystyle \operatorname {ctg} \left(\varphi ^{\prime }+\gamma \right)=\operatorname {ctg} (\varphi -\alpha )\cos \beta -{\frac {\operatorname {ctg} \theta \sin \beta }{\sin(\varphi -\alpha )}}}$

Նոր կոորդինատային համակարգում ${\displaystyle \ell }$ և ${\displaystyle m}$ գործակցով գնդային ֆունկցիան ներկայանալի է դառնալու նույն ${\displaystyle \ell }$ գործակցով, բայց տարբեր ${\displaystyle m}$ -ով գծային կոմբինացիայի տեսքով։ Գծային կոմբինացիայում կոմպլեքս զուգակցվում են D-Վագների մատրիցաները^[2];

${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ,\beta ,\gamma )Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )=Y_{\ell }^{m}(\theta ',\varphi ')=\sum _{m'=-\ell }^{\ell }[D_{mm'}^{(\ell )}(\alpha ,\beta ,\gamma )]^{*}Y_{\ell }^{m'}(\theta ,\varphi ),}$

Կոմպլեք էքսպոնենտը կարող է ներկայացվել՝ ըստ գնդային ֆունկցիաների, տարալուծման տեսքով

${\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }=4\pi \sum _{l=0}^{\infty }i^{l}j_{l}(kr)\sum _{m=-l}^{l}Y_{l}^{m*}\left({\frac {\mathbf {r} }{|r|}}\right)Y_{l}^{m}\left({\frac {\mathbf {k} }{|k|}}\right)}$

Այստեղ ${\displaystyle j_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)}$ - Բեսելի գնդային ֆունկցիան է։

• Գնդային ֆունկցիաների ցանկը

• Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Квантовая механика|1989}-математические дополнения

• SHTOOLS: Fortran 95 software archive
• HEALPIX: Fortran 90 and C++ software archive
• SpherePack: Fortran 77 software archive Արխիվացված 2006-12-29 Wayback Machine
• SpharmonicKit: C software archive
• Frederik J Simons: Matlab software archive
• NFFT: C subroutine library (fast spherical Fourier transform for arbitrary nodes)
• Shansyn: spherical harmonics package for GMT/netcdf grd files
• SHAPE: Spherical HArmonic Parameterization Explorer

• Spherical harmonics applied to Acoustic Field analysis on Trinnov Audio’s research page
• Spherical Harmonics by Stephen Wolfram and Nodal Domains of Spherical Harmonics by Michael Trott, The Wolfram Demonstrations Project
• An accessible introduction to spherical harmonics (by J. B. Calvert)
• Spherical harmonics entry at Citizendium

Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Գնդային ֆունկցիաներ» հոդվածին։