Գնդոլորտային սեգմենտ

Եթե սեգմենտի հիմքի շառավիղը հավասար է ${\displaystyle a}$ , բարձրությունը ${\displaystyle h}$ , ապա գնդային սեգմենտի ծավալը հավասար է^[2].

${\displaystyle V={\frac {\pi h}{6}}(3a^{2}+h^{2})}$ ,

սեգմենտի մակերևույթի մակերեսը հավասար է․

${\displaystyle A=2\pi rh}$

կամ

${\displaystyle A=2\pi r^{2}(1-\cos \theta )}$ .

${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle h}$ և ${\displaystyle r}$ պարամետրերը կապված են հետևյալ բանաձևերով․

${\displaystyle r^{2}=(r-h)^{2}+a^{2}=r^{2}+h^{2}-2rh+a^{2}}$ ,

${\displaystyle r={\frac {a^{2}+h^{2}}{2h}}}$ .

Վերջին արտահայտությունը տեղադրելով երկրորդ հավասարման մեջ, կստանանք․

${\displaystyle A=2\pi {\frac {(a^{2}+h^{2})}{2h}}h=\pi (a^{2}+h^{2})}$ .

Գնդի վերին (նկարում կապույտ) մասում ${\displaystyle h=r-{\sqrt {r^{2}-a^{2}}}}$ , ներքին մասում ${\displaystyle h=r+{\sqrt {r^{2}-a^{2}}}}$ , հետևապես, երկու մասերի համար էլ ճիշտ է հետևյալ արտահայտությունը․ ${\displaystyle a={\sqrt {h(2r-h)}}}$ և կարելի է ուրիշ ծավալի բանաձև բերել․

${\displaystyle V={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h)}$ .

կամ պտտման մակերևութի ինտեգրման միջոցով․

${\displaystyle V=\int _{x}^{r}\pi \left(r^{2}-x^{2}\right)dx=\pi \left({\frac {2}{3}}r^{3}-r^{2}x+{\frac {1}{3}}x^{3}\right)={\frac {\pi }{3}}r^{3}(\cos(\theta )+2)(\cos(\theta )-1)^{2}}$ .

r₁ և r₂ ծավալներով երկու գնդոլորտների միավորված ծավալը^[3]․

${\displaystyle V=V^{(1)}-V^{(2)}}$ ,

որտեղ

${\displaystyle V^{(1)}={\frac {4\pi }{3}}r_{1}^{3}+{\frac {4\pi }{3}}r_{2}^{3}}$

Հանդիսանում է 2 առանձին ծավալների գումարը․

${\displaystyle V^{(2)}={\frac {\pi h_{1}^{2}}{3}}(3r_{1}-h_{1})+{\frac {\pi h_{2}^{2}}{3}}(3r_{2}-h_{2})}$

Եթե d < r₁ + r₂ գնդերի կենտրոնների հեռավորությունն է, ապա h₁ և h₂ մեծությունների բացառումը բերում է^[4][5]

${\displaystyle V^{(2)}={\frac {\pi }{12d}}(r_{1}+r_{2}-d)^{2}\left(d^{2}+2d(r_{1}+r_{2})-3(r_{1}-r_{2})^{2}\right)}$  արտահայտությանը։

Հավասար լայնության շրջաններով սահմանափակված մակերևույթի մակերեսը հանդիսանում է 2 համապատասխան գնդոլորտների սեգմենտների մակերեսների տարբերությունը։ r շառավղով գնդոլորտի և φ₁ և φ₂ լայնությունների համար, մակերեսը հավասար է^[6]։

${\displaystyle A=2\pi r^{2}|\sin \phi _{1}-\sin \phi _{2}|}$ .

${\displaystyle n}$ -աչափ հիպերգնդոլորտի ծավալը, ${\displaystyle h}$ բարձրությամբ ${\displaystyle r}$ շառավղով ${\displaystyle n}$ -աչափ էվկլիդեսյան տարածությունում որոշվում է^[7]․

${\displaystyle V={\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}\,r^{n}}{\,\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}}\int \limits _{0}^{\arccos \left({\frac {r-h}{r}}\right)}\sin ^{n}(t)\,\mathrm {d} t}$

որտեղ՝ ${\displaystyle \Gamma }$ (գամմա ֆունկցիա) տրվում է ${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t}$ արտահայտությամբ։

Մակերևույթի ${\displaystyle A}$ մակերեսի բանաձևը կարող է գրվել ${\displaystyle n}$ -աչափ գնդի մակերևույթի մակերեսի տերմիններով։

${\displaystyle A_{n}={2\pi ^{n/2}/\Gamma [{\frac {n}{2}}]}}$

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}A_{n}\,r^{n-1}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n-1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}$ ,

որտեղ ${\displaystyle 0\leq h\leq r}$ .

Ճիշտ են նաև հետևյալ բանաձևերը^[8]․${\displaystyle A=A_{n}p_{n-2}(q),V=V_{n}p_{n}(q)}$ , որտեղ${\displaystyle q=1-h/r(0\leq q\leq 1),p_{n}(q)=(1-G_{n}(q)/G_{n}(1))/2}$ ,

${\displaystyle G_{n}(q)=\int \limits _{0}^{q}(1-t^{2})^{(n-1)/2}dt}$ .

${\displaystyle n=2k+1}$ դեպքում

${\displaystyle G_{n}(q)=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{\binom {k}{i}}{\frac {q^{2i+1}}{2i+1}}}$ .

Ցույց է տրվում^[9], որ ${\displaystyle n\to \infty }$ և ${\displaystyle q{\sqrt {n}}={\text{const }}}$ դեպքում․ ${\displaystyle p_{n}(q)\to 1-F({q{\sqrt {n}}})}$ ։

• А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин, П. С. Александров Основные понятия сферической геометрии // Энциклопедия элементарной математики. Книга 4 - Геометрия. — Москва: ГИФМЛ, 1963.