A logaritmikus eloszlás egy diszkrét valószínűség eloszlás, mely a MacLaurin-sor kiterjesztéséből vezethető le (a MacLaurin-sor a Taylor-sor egy speciális esete):
Tömegfüggvény Kumulatív eloszlásfüggvény − ln ( 1 − p ) = p + p 2 2 + p 3 3 + ⋯ . {\displaystyle -\ln(1-p)=p+{\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {p^{3}}{3}}+\cdots .}
Ebből kapjuk:
∑ k = 1 ∞ − 1 ln ( 1 − p ) p k k = 1. {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}=1.} A Log(p )-eloszlású valószínűségi változó tömegfüggvénye:
f ( k ) = − 1 ln ( 1 − p ) p k k {\displaystyle f(k)={\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}} k ≥1 értékekre, és ahol 0<p <1. A fentiek miatt az eloszlás normalizált.A kumulatív eloszlásfüggvény:
F ( k ) = 1 + B ( p ; k + 1 , 0 ) ln ( 1 − p ) {\displaystyle F(k)=1+{\frac {\mathrm {B} (p;k+1,0)}{\ln(1-p)}}} ahol B az inkomplett bétafüggvény.Poissonnal kevert Log(p )-eloszlású változónak negatív binomiális eloszlása van. Más szavakkal, ha N egy Poisson-eloszlású valószínűségi változó, és X i , i = 1, 2, 3, ...egy végtelen sora az egymástól független, azonos valószínűségi változóknak, melyeknek Log(p )-eloszlása van, akkor
∑ i = 1 N X i {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}X_{i}} - negatív binomiális eloszlású .Ily módon a negatív binomiális eloszlás , egy összetett Poisson-eloszlás .
Ronald Aylmer Fisher egy publikációjában a negatív binomiális eloszlást a fajok relatív bőségének a modelljeként írja le.[1]
Jellemző paraméterek Tartomány= k ∈ { 1 , 2 , 3 , … } {\displaystyle k\in \{1,2,3,\dots \}\!} | Sűrűségfüggvény= − 1 ln ( 1 − p ) p k k {\displaystyle {\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {\;p^{k}}{k}}\!} | Kumulatív eloszlásfüggvény= 1 + B ( p ; k + 1 , 0 ) ln ( 1 − p ) {\displaystyle 1+{\frac {\mathrm {B} (p;k+1,0)}{\ln(1-p)}}\!} | Középérték= − 1 ln ( 1 − p ) p 1 − p {\displaystyle {\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p}{1-p}}\!} | Módusz= 1 {\displaystyle 1} Szórásnégyzet= − p p + ln ( 1 − p ) ( 1 − p ) 2 ln 2 ( 1 − p ) {\displaystyle -p\;{\frac {p+\ln(1-p)}{(1-p)^{2}\,\ln ^{2}(1-p)}}\!} | Momentum generáló függvény= ln ( 1 − p exp ( t ) ) ln ( 1 − p ) for t < − ln p {\displaystyle {\frac {\ln(1-p\,\exp(t))}{\ln(1-p)}}{\text{ for }}t<-\ln p\,} | Karakterisztikus függvény= ln ( 1 − p exp ( i t ) ) ln ( 1 − p ) for t ∈ R {\displaystyle {\frac {\ln(1-p\,\exp(i\,t))}{\ln(1-p)}}{\text{ for }}t\in \mathbb {R} \!} | Generátorfüggvény= ln ( 1 − p z ) ln ( 1 − p ) for | z | < 1 p {\displaystyle {\frac {\ln(1-pz)}{\ln(1-p)}}{\text{ for }}|z|<{\frac {1}{p}}} |
Kapcsolódó szócikkek
Irodalom Johnson, Norman Lloyd; Kemp, Adrienne W; Kotz, Samuel: Chapter 7: Logarithmic and Lagrangian distributions. (hely nélkül): John Wiley & Sons. 2005. ISBN 978-0-471-27246-5
Források