Konvex és konkáv függvény
Eszközök
Műveletek
Általános
Nyomtatás/exportálás
Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye. |
A matematikában, közelebbről a matematikai analízisben egy intervallumon értelmezett, valós értékű függvényt konvexnek nevezünk, ha a görbéje feletti végtelen síktartomány konvex halmaz, azaz ha egy tetszőleges szakasz két végpontja benne van a síktartományban, akkor a szakasz összes pontja is. Egy másik szemléletes megfogalmazás, hogy akkor konvex egy függvény, ha érintője mindenütt a függvénygörbe alatt halad.
Az Rn egy konvex részhalmazán értelmezett, valós értékű függvény esetén is szokás konvexitásról beszélni, ennek formális megfogalmazása lentebb található. Lényegében itt is arról van szó, hogy a függvény grafikonja fölötti térrész (R2 R esetben) konvex.
Egy intervallumon értelmezett, valós értékű függvény konkáv, ha a görbéje alatti végtelen síktartomány konvex. Ekvivalensen, akkor konkáv egy függvény, ha érintője mindenütt a függvénygörbe fölött halad. A konkáv tulajdonság is kiterjeszthető az Rn egy konvex részén értelmezett függvényekre. Lényegében itt is arról van szó, hogy a függvény grafikonja alatti térrész (R2 R esetben) konvex.
Köznapi nyelven a konvex-konkáv fogalmat így írják le: a konvexben nem lehet elbújni, a konkávban lehet.
Az f:
R intervallumon értelmezett valós változójú függvény konvex, ha a függvénygörbe két pontját összekötő húr a függvénygörbe fölött halad, azaz tetszőleges a < b pontra az
-ből és t ∈ [0,1]-re:
f konkáv, ha a függvénygörbe két pontját összekötő húr a függvénygörbe alatt halad, azaz ha tetszőleges a < b pontra az -ből és t ∈ [0,1]-re:
Szigorúan konvexnek illetve szigorúan konkávnak nevezzük f-et, ha a fenti formulában csak akkor teljesülhet egyenlőség, ha t= 0 vagy 1.
A többváltozós esetben a fenti formulák változatlanul fennmaradnak, csak a és b az értelmezési tartományba eső tetszőleges szakasz két végpontja.
Ha az f:
R intervallumon értelmezett, valós függvény differenciálható, akkor ennek konvex tulajdonsága még a következőképpen is megfogalmazható: minden
-beli
,
számpár esetén
illetve konkáv, ha minden -beli
,
számpár esetén:
Azaz az érintő egyenes (mely differenciálható függvények esetében értelmezhető csak) konvex esetben mindig a függvénygörbe alatt, konkáv esetben felett halad. Ekkor rendre a függvény és első Taylor-polinomja közötti f – T1,uf ≧ 0 illetve f – T1,uf ≦ 0 egyenlőtlenségről beszélünk (tetszőleges u ∈ pontnál).
Amennyiben a függvény kétszer differenciálható, akkor fennáll a következő
Tétel – A konvexitás (konkavitás) jellemzése – Az f:
R intervallumon értelmezett kétszer differenciálható függvény pontosan akkor konvex (konkáv), ha a második deriváltja mindenhol nemnegatív (nempozitív).
Ha f konkáv, akkor az egyenlőtlenség fordított irányú.
![]() | Ez a matematikai tárgyú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle! |