Karakterisztikus függvény (valószínűségszámítás)
A karakterisztikus függvény a valószínűségszámításban egy speciális, komplex értékű függvény, ami véges mértékekhez vagy szűkebb értelemben valószínűségi mértékekhez, illetve eloszlásokhoz rendelhető hozzá. A hozzárendelés bijektív, a karakterisztikus függvény meghatározza az eloszlást.
Jelentőségét az adja, hogy a valószínűségeloszlások egyes tulajdonságait könnyebb megismerni a karakterisztikus függvényből, mint az eloszlásból vagy más függvényekből. Így a valószínűségi mértékek konvolúciójára a karakterisztikus függvények szorzatából lehet következtetni.
Definíció
Legyen véges mérték
-en. Ekkor
karakterisztikus függvénye egy
komplex értékű függvény:
Ha , akkor ugyanez a definíció érvényes. Ha
valószínűségi változó, és eloszlása
, akkor karakterisztikus függvénye
.
Speciális esetek:
- Ha
-nek van sűrűségfüggvénye a Riemann-integrál szerint és sűrűségfüggvénye
, akkor
.
- Ha
-nek van valószínűségi függvénye, és valószínűségi függvénye
, akkor
.
Elemi példák
Ha Poisson-eloszlású, akkor
valószínűségi függvénye
.
A valószínűségi függvényt használó kifejezéssel
Ha
paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó,
valószínűségi függvénye
Ezzel
További példák majd táblázatban lesznek megadva.
Tulajdonságai
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Sinc_simple.svg/300px-Sinc_simple.svg.png)
Létezés
Minden véges mértéknek, így minden valószínűségi mértéknek és eloszlásnak van karakterisztikus függvénye. Az integrál mindig konvergens, mivel
.
Korlátosság
A karakterisztikus függvény mindig korlátos, teljesül, hogy
.
Szimmetria
A karakterisztikus függvény pontosan akkor valós, ha
eloszlása szimmetrikus, különben hermitikus, azaz
.
Folytonosság
A karakterisztikus függvények egyenletesen folytonosak.
Jellemzése
Érdekes kérdés, hogy mely függvények lehetnek karakterisztikus függvények. Pólya tétele elégséges kritériumokat ad: Legyen az függvény olyan, hogy:
- konvex az
félegyenesen, továbbá
- folytonos páros függvény,
Ekkor van valószínűségi mérték, aminek karakterisztikus függvénye.
Szükséges és elégséges kritériumot Bochner tétele ad: Egy folytonos : függvény akkor és csak akkor karakterisztikus függvény, ha
pozitív szemidefinit és
.
Kapcsolatok más függvényekkel
Lineáris transzformáció
minden valós
számra.
Sűrűségfüggvény
Ha integrálható, akkor
sűrűségfüggvénye rekonstruálható, mint
Momentumok
minden
természetes számra, ha
.
Speciálisan
Ha egy esetén az
várható érték véges, akkor
-szer folytonosan differenciálható, és
körül Taylor-sorba fehthető:
Speciálisan, ha és
:
Sűrűségfüggvények konvolúciója
Ha és
független valószínűségi változók, akkor
karakterisztikus függvénye
mivel a függetlenség miatt
Ugyanolyan eloszlású, független valószínűségi változók
Legyenek független valószínűségi változók ugyanabból az eloszlásból, és
szintén valószínűségi változó, aminek értékei
-ból kerülnek ki, és minden
-től független, ekkor
az
valószínűséggeneráló függvényéből és
karakterisztikus függvényéből számítható:
.
Egyértelműség
Ha ,
valószínűségi változók, és
minden
-re, akkor
, azaz
és
ugyanolyan eloszlású. Ezzel egyes eloszlások konvolúciója könnyebben meghatározható.
Ebből lehet következtetni Lévy folytonossági tételére: Az valószínűségi változók sorozata pontosan akkor konvergens eloszlásban, ha
minden
esetén. Ezt a centrális határeloszlás tételéhez lehet felhasználni.
Példák
Eloszlás | |
---|---|
Diszkrét eloszlások | |
Binomiális eloszlás | |
Poisson-eloszlás | |
Negatív binomiális eloszlás | |
Abszolút folytonos eloszlások | |
Általánosabb definíciók
Valószínűségi vektorváltozók
Valószínűségi vektorváltozókra is definiálható a karakterisztikus függvény. Legyen
dimenziós valószínűségi vektorváltozó. Ekkor
az karakterisztikus függvénye, ahol
a skaláris szorzás.
Tetszőleges mértékek
Tetszőleges mértékek esetén kompakt tartójú, korlátos, mérhető, valós értékű függvényekre értelmezhető a karakterisztikus függvény, mint
ahol a mérték. A mérték egyértelmű, az összes ilyen függvény karakterisztikus függvénye meghatározza.
Kapcsolat más generátorfüggvényekkel
A valószínűségszámítás további fontos generátorfüggvényei a valószínűséggeneráló függvény és a momentumgeneráló függvény.
Egy értékű
valószínűségi változó karakterisztikus függvénye
. Emiatt
.
Egy valószínűségi változó momentumgeneráló függvénye . Eszerint, ha létezik a momentumgeneráló függvény, akkor
. A karakterisztikus függvénnyel szemben ez nem mindig teljesül.
A kumulánsgeneráló függvény a momentumgeneráló függvény logaritmusa. Belőle származtatják a kumulánsokat.
Források
- Eugen Lukacs: Characteristic functions. Griffin, London 1960 (2., erweiterte Auflage 1970), ISBN 0-85264-170-2
- Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8
Fordítás
Ez a szócikk részben vagy egészben a Charakteristische Funktion (Stochastik) című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.