Digamma-függvény
A ψ(x) jelű digamma-függvény a gamma-függvény logaritmikus deriváltja.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/68/Complex_Polygamma_0.jpg/400px-Complex_Polygamma_0.jpg)
Ez az első poligamma-függvény.
Kapcsolat a harmonikus számokkal
A digamma-függvény (jelölései: ψ0(x), ψ0(x), vagy , a digamma (Ϝ ϝ) a preklasszikus görög ábécé hatodik betűje után) következőképpen kapcsolódik a harmonikus számokhoz:
ahol Hn az n-edik harmonikus szám, és γ az Euler-Mascheroni konstans.Félegész értékekre:
Intergrállal kifejezve
ez a kifejezés akkor érvényes, ha valós része pozitív.
Kifejezhetjük:
mely megfelel az Euler-integrálnak harmonikus számokra.
Sorozattal kifejezve
A digamma kiszámolható a komplex síkon a negatív egészeken kívül a következő képlettel:
vagy
Ez felhasználható racionális függvények végtelen szummájának számítására, például:
,
ahol p(n) és q(n) n polinomjai.
Magasabb rendű poligamma-függvény sor kiterjesztésével, egy általánosított képlet kapható:
feltéve, ha a sorozat bal oldala konvergens.
Taylor sorok
A digammának van egy racionális zéta sorozata, mely a Taylor-sorból ered z=1-nél. Ez:
,
mely konvergál |z|<1 felé. Itt a a Riemann-féle zéta-függvény.
Newton sor
A digamma Newton-sora az Euler integrál képletből adódik:
ahol a binomiális együttható.
Reflexiós képlet
A digamma-függvény reflexiós képlete hasonló a gamma-függvényével.
Gauss-összeg
A digamma Gauss-összege:
egészekre. Itt, a ζ(s,q) a Hurwitz zéta függvény, és a
a Bernoulli-polinom.
Gauss digammaelmélete
Gauss digamma elmélete,[1][2] szerint m és k ( m < k), pozitív egészekre, a digamma függvény elemi függvényekkel is kifejezhető:
Közelítések
J.-M. Bernardo AS 103 algoritmusa szerint[3] a digamma-függvény x valós számokra közelíthető:
Hasonló közelítés magasabb tagokra:
Speciális értékek
Gauss digamma elmélete eredményeképpen a digamma-függvény zárt formájú értékei racionális számokra:
Jegyzetek
Források
- Abramowitz, M.; Stegun, I. A., eds: "6.3 psi (Digamma) Function.". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. (hely nélkül): New York: Dover. 1972. 258–259. o.
- Bernardo, José M: "Algorithm AS 103 psi(digamma function) computation". (hely nélkül): Applied Statistics 25. 1976. 315–317. o.