Trigonometrija

Sumerski astronomi proučavali su mjerenje kutova koristeći podjelu kruga na 360 stupnjeva.^[8] Oni, a poslije i Babilonci, proučavali su omjere stranica sličnih trokuta i otkrili neka svojstva tih omjera, ali to nisu pretvorili u sustavnu metodu za pronalaženje stranica i kutova trokuta. Interpretacije podataka na ploči Plimpton 322 iz oko 1900. godine pr. n. e. ukazuju na to da su Babilonci tada imali precizne seksagezimalne tablice sekansa.^[9] Drevni Nubijci imali su sličnu metodu.^[10]

U 3. stoljeću pr. n. e. grčki matematičari poput Euklida i Arhimeda proučavali su svojstva tetiva i obodnih kutova kružnice te su dokazali teoreme koji su ekvivalentni modernim trigonometrijskim formulama, iako su ih prikazali geometrijski, a ne algebarski. Hiparh iz Nikeje u Maloj Aziji dao je 140. godine pr. n. e. prve tablice za tetive, analogne suvremenim tablicama vrijednosti funkcije sinus, i koristio ih za rješavanje problema u ravninskoj i sfernoj trigonometriji.^[11] U 2. stoljeću nove ere grčko-egipatski astronom Ptolemej iz Aleksandrije u Egiptu konstruirao je detaljne trigonometrijske tablice u 1. knjizi svojega Almagesta.^[12] Ptolemej je koristio duljinu tetive kružnice za definiranje svojih trigonometrijskih funkcija, što je slično današnjoj konvenciji za sinuse:^[11] vrijednost za sin ϑ dobije se iz duljine tetive za dvostruki kut (2ϑ) u njegovoj tablici i dijeljenjem te vrijednosti s dva. Stoljeća su prošla prije nego što su izrađene detaljnije tablice, a Ptolemejev rad ostao je u upotrebi za izvođenje trigonometrijskih izračuna u astronomiji tijekom sljedećih 1200 godina, u srednjovjekovnom bizantskom, islamskom, i naposljetku u zapadnoeuropskom svijetu.

Moderna definicija funkcije sinus prvi je put potvrđena u sanskrtskom traktatu Sūrya Siddhānta, a njezina je svojstva dodatno dokumentirao u 5. stoljeću indijski matematičar i astronom Aryabhata.^[3] Grčka i indijska djela preveli su i proširili srednjovjekovni islamski matematičari. Godine 830. perzijski matematičar Habash al-Hasib al-Marwazi izradio je prvu tablicu kotangensa.^[13][14] Do 10. stoljeća nove ere perzijski matematičar Abū al-Wafā' al-Būzjānī upotrebio je svih šest trigonometrijskih funkcija.^[3] Abu al-Wafa imao je tablice sinusa u koracima od četvrtine stupnja (0,25°) s točnošću od 8 decimalnih mjesta i točne tablice vrijednosti tangensa.^[3] Također je uveo važne inovacije u sfernu trigonometriju.^[15][16][17] Perzijski polihistor Nasirudin Tusi smatra se tvorcem trigonometrije kao zasebne matematičke discipline,^[18][19] neovisne o astronomiji, a razvio je i sfernu trigonometriju u njezin današnji oblik.^[14] Naveo je šest različitih slučajeva pravokutnog trokuta u sfernoj trigonometriji, otkrio poučak o sinusima za ravninske trokute i trokute na sferi i tangensni poučak za sferne trokute i dokazao ih.^[20] Znanje o trigonometrijskim funkcijama i metodama dospjelo je u zapadnu Europu preko latinskih prijevoda Ptolemejeva grčkog Almagesta kao i djela perzijskih i arapskih astronoma kao što su Al Battani i Nasirudin Tusi.^[3] Jedno od najranijih djela o trigonometriji sjevernoeuropskog matematičara jest De Triangulis Nijemca Regiomontana iz 15. stoljeća, kojega je bizantski grčki učenjak kardinal Bazil Bessarion s kojim je živio potaknuo da piše i opskrbio ga primjerkom Almagesta.^[21] U isto vrijeme, drugi prijevod Almagesta s grčkog na latinski dovršio je Krećanin George iz Trapezunda.^[22] Trigonometrija je još uvijek bila toliko malo poznata u sjevernoj Europi 16. stoljeća da je Nikola Kopernik posvetio dva poglavlja knjige De revolutionibus orbium coelestium pojašnjavanju osnovnih pojmova.

Potaknuta potrebama navigacije i točnih karata velikih geografskih područja, trigonometrija je prerasla u glavnu granu matematike.^[23] Bartholomaeus Pitiscus prvi je upotrijebio tu riječ, objavivši svoj rad Trigonometria 1595. godine.^[24] Gemma Frisius prvi je opisao metodu triangulacije koja se i danas koristi u geodetskoj izmjeri. Leonhard Euler uključio je kompleksne brojeve u trigonometriju. Radovi škotskih matematičara Jamesa Gregoryja u 17. stoljeću i Colina Maclaurina u 18. stoljeću utjecali su na razvoj trigonometrijskih redova.^[25] U 18. stoljeću Brook Taylor definirao je opći Taylorov red.^[26]

Trigonometrijski omjeri jesu omjeri duljina stranica pravokutnog trokuta. Ti omjeri ovise samo o jednom oštrom kutu pravokutnog trokuta jer su svaka dva pravokutna trokuta s istim oštrim kutom slična.^[27]

Omjeri definiraju funkcije toga kuta koje se nazivaju trigonometrijske funkcije. U nastavku ih prikazujemo kao funkcije poznatog kuta α (alfa) u vrhu A, uz oznake a za duljinu nasuprotne katete, b za duljinu priležeće katete i h za duljinu hipotenuze:

• Sinus kuta α (oznaka: sin α) jest omjer duljina nasuprotne stranice i hipotenuze:

$${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {a}{h}}}$$

• Kosinus kuta α (oznaka: cos α) jest omjer duljina priležeće katete i hipotenuze:

$${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {b}{h}}.}$$

• Tangens kuta α (oznaka: tan α ili tg α) jest omjer duljina nasuprotne i priležeće katete:

$${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {a}{b}}={\frac {a/h}{b/h}}={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}}$$

Hipotenuza je stranica nasuprot kutu od 90 stupnjeva u pravokutnom trokutu; to je najduža stranica trokuta i jedna od dviju stranica koje zatvaraju kut u vrhu A. Priležeća kateta jest druga stranica koja zatvara kut u vrhu A. Nasuprotna kateta jest stranica koja je nasuprot kutu u vrhu A.

Recipročne vrijednosti tih omjera nazivaju se kosekans (csc), sekans (sec) i kotangens (cot ili ctg):

$${\displaystyle \csc \alpha ={\frac {1}{\sin \alpha }}={\frac {h}{a}}}$$

$${\displaystyle \sec \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }}={\frac {h}{b}}}$$

$${\displaystyle \cot \alpha ={\frac {1}{\tan \alpha }}={\frac {\cos A}{\sin A}}={\frac {b}{a}}}$$

Funkcije kosinus, kotangens i kosekans nazvane su tako jer su jednake sinusu, tangensu i sekansu komplementarnog kuta (β=90°–α), što se dodaje kao prefiks ko– u njihovu imenu.^[28]

Pomoću ovih funkcija mogu se riješiti gotovo sva pitanja o proizvoljnim trokutima upotrebom sinusnog poučka i kosinusnog poučka.^[29] Ti se poučci mogu upotrebljavati za izračunavanje preostalih kutova i stranica bilo kojeg trokuta čim su poznate duljine dviju stranica i kut među njima ili dva kuta i duljina stranice ili duljine svih triju stranica.

Trigonometrijski omjeri mogu se prikazati pomoću jedinične kružnice, što je kružnica radijusa 1 sa središtem u ishodištu ravnine.^[30] U ovoj postavci promatrani kut ϑ zatvara apscisa koordinatnog sustava i zraka iz središta kružnice prema točki (x,y) na kružnici, gdje je onda x=cos ϑ i y=sin ϑ.^[30] Uz poznavanje vrijednosti funkcija za neke uobičajene kutove (30°, 45°) iz tog se prikaza mogu odrediti vrijednosti kutova koji ih na neki način komplementiraju:^[31]

kut	0	${\displaystyle \pi /6}$	${\displaystyle \pi /4}$	${\displaystyle \pi /3}$	${\displaystyle \pi /2}$	${\displaystyle 2\pi /3}$	${\displaystyle 3\pi /4}$	${\displaystyle 5\pi /6}$	${\displaystyle \pi }$
	0	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°
sinus	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1/2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$	${\displaystyle 1/2}$	${\displaystyle 0}$
kosinus	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$	${\displaystyle 1/2}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1/2}$	${\displaystyle -{\sqrt {2}}/2}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}/2}$	${\displaystyle -1}$
tangens	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	—	${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle 0}$
sekans	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2{\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2}$	—	${\displaystyle -2}$	${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle -2{\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle -1}$
kosekans	—	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2{\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2{\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2}$	—
kotangens	—	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$	—

Koristeći se jediničnom kružnicom definicije trigonometrijskih omjera mogu se proširiti na sve realne brojeve^[32] u kojima su sinus i kosinus funkcije s periodom 2π (360°), a tangens i kotangens s periodom π (180°).

Sljedeća tablica prikazuje glavna svojstva grafova šest trigonometrijskih funkcija:^[33][34]

funkcija	period	domena	kodomena	graf
sin	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$	${\displaystyle [-1,1]}$
cos	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$	${\displaystyle [-1,1]}$
tg	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle x\neq \pi /2+n\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$
sec	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle x\neq \pi /2+n\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,\infty )}$
cosec	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle x\neq n\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,\infty )}$
ctg	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle x\neq n\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$

Kako su glavne trigonometrijske funkcije periodične one nisu injektivne pa stoga nisu invertibilne, ali se ograničavanjem domene mogu učiniti invertibilnima.^{[35] :48ff}

Nazivi inverznih trigonometrijskih funkcija, zajedno s njihovim domenama i rasponom, nalaze se u sljedećoj tablici:^{[35] :48ff[36] :521ff}

Kada se uzmu kao funkcije realne varijable, trigonometrijski omjeri mogu se prikazati zbrojem beskonačnog niza tj. redom potencija svoje bezdimenzijske varijable (npr. kuta izraženog u radijanima). Na primjer, sinus i kosinus imaju sljedeće prikaze:^[37]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos x&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.\end{aligned}}}$

Uskličnik u tim formulama označava vrijednost faktorijela.

Pomoću ovih definicija trigonometrijske funkcije mogu se definirati za kompleksne brojeve.^[38] Kada se eksponencijalnu funkciju poopći na skup kompleksnih brojeva, vrijedi i formula koju se naziva Eulerovom formulom:^[39]

${\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y).}$

Trigonometrijske funkcije bile su jedan od prvih primjera upotrebe matematičkih tablica.^[40] One su se dugo nalazile u udžbenicima, a učenike se podučavalo kako nalaziti vrijednosti funkcija i interpolirati vrijednosti za kutove koji nisu bili navedeni u tablicama.^[41] Poneki logaritamari (šiberi) imali su posebne ljestvice za trigonometrijske funkcije.^[42]

Napredniji kalkulatori imali su tipke za izračun glavnih trigonometrijskih funkcija. Većina računalnih programskih jezika ima biblioteke funkcija koje uključuju trigonometrijske funkcije.^[43] Hardverske jedinice s pomičnim zarezom ugrađene u mikroprocesore osobnih računala imaju ugrađene upute za izračun trigonometrijskih funkcija.^[44]

Stoljećima se sferna trigonometrija koristila za određivanje položaja Sunca, Mjeseca i zvijezda,^[45] predviđanje pomrčina i opisivanje orbita planeta.^[46]

U moderno doba, tehnika triangulacije koristi se u astronomiji za mjerenje udaljenosti do obližnjih zvijezda,^[47] kao i u satelitskim navigacijskim sustavima.^[17]

Povijesno gledano, trigonometrija se koristila za određivanje zemljopisne širine i dužine jedrenjaka, iscrtavanje putanja i izračunavanje udaljenosti tijekom plovidbe.^[48]

Trigonometrija se još uvijek koristi u navigaciji putem sredstava kao što su sustav globalnog pozicioniranja i umjetna inteligencija za autonomna vozila.

U zemljomjerstvu, trigonometrija se koristi za izračunavanje duljina, površina i relativnih kutova između objekata.^[49]

Na većoj skali, trigonometrija se koristi u geografiji za mjerenje udaljenosti između orijentira.(30°, 45°)^[50]

Funkcije sinus i kosinus važne su za teoriju periodičnih funkcija,^[51] poput onih koje opisuju zvučne i svjetlosne valove. Fourier je otkrio da se svaka kontinuirana periodična funkcija može opisati kao zbroj beskonačnog niza trigonometrijskih funkcija.

Čak se i neperiodične funkcije mogu prikazati kao integral sinusa i kosinusa s pomoću Fourierove transformacije. Ona, među ostalim, ima primjenu u kvantnoj mehanici^[52] i komunikacijama.^[53]

Trigonometrija je korisna u mnogim fizičkim znanostima,^[54] uključujući akustiku^[55] i optiku.^[55] U tim se područjima koristi za opisivanje zvučnih i svjetlosnih valova.^[56]

Polja koja koriste trigonometriju ili trigonometrijske funkcije uključuju teoriju glazbe,^[57] geodeziju, audiosintezu,^[58] arhitekturu,^[59] elektroniku,^[57] biologiju,^[60] medicinsko snimanje ( CT skeniranje i ultrazvuk),^[61] kemiju,^[62] teoriju brojeva (a time i kriptografiju),^[63] seizmologiju,^[55] meteorologiju,^[64] oceanografiju,^[65] kompresiju slika,^[66] fonetiku,^[67] ekonomiju,^[68] elektrotehniku, strojarstvo, građevinarstvo,^[57] računalnu grafiku,^[69] kartografiju,^[57] kristalografiju^[70] i razvoj računalnih igara.^[69]

Trigonometrija je poznata po svojim brojnim identitetima, odnosno jednadžbama koje su istinite za sve moguće brojeve.^[71]

Identiteti koji uključuju samo kutove poznati su kao trigonometrijski identiteti. Druge jednadžbe, poznate kao identiteti trokuta,^[72] povezuju stranice i kutove danog trokuta.

U sljedećim identitetima α, β, γ jesu kutovi u vrhovima trokuta A, B, C, dok su a, b i c duljine tim vrhovima nasuprotnih stranica.

Sinusni poučak za proizvoljan trokut izražava se formulama^[73]

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R={\frac {abc}{2P}}}$

gdje ${\displaystyle P}$ je površina trokuta, a R je polumjer trokutu opisane kružnice:

${\displaystyle R={\frac {abc}{\sqrt {(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)}}}.}$

Kosinusni poučak proširenje je Pitagorina poučka na proizvoljne trokute:^[73]

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }$

To se ponekad piše i kao

${\displaystyle \cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.}$

Duljina stranice trokuta može se dobiti kao zbroj projekcija drugih dviju stranica na nju, na primjer:^[74]

${\displaystyle c=a\cos \beta +b\cos \alpha }$

Ako su zadane dvije stranice a i b i kut između njih γ, površina trokuta dana je polovicom umnoška duljina stranica i sinusa tog kuta:^[73]

${\displaystyle P={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma }$

Sljedeći trigonometrijski identitet povezan je s Pitagorinim poučkom i vrijedi za bilo koju vrijednost x:^[75]

${\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1\ }$

Eulerova formula ${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$ daje sljedeće analitičke identitete za sinus, kosinus i tangens s pomoću broja e i imaginarne jedinice i:

${\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},\qquad \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \tan x={\frac {i(e^{-ix}-e^{ix})}{e^{ix}+e^{-ix}}}.}$

Ostali često korišteni trigonometrijski identiteti uključuju identitete polukuta, identitete zbroja i razlike kutova te identitete umnožaka i zbroja.^[27]

• Boyer, Carl B. 1991. A history of mathematics 2 izdanje. Wiley. New York. ISBN 978-0-471-54397-8
• Nielsen, Kaj L. 1966. Logarithmic and Trigonometric Tables to Five Places 2 izdanje. Barnes & Noble
• Thurston, Hugh A. 1996. Early astronomy. Springer study edition 1. ed., 1. softcover printing izdanje. Springer. New York Berlin Heidelberg. ISBN 978-0-387-94822-5

• Khan Academy: Trigonometrija
• Trigonometrija Alfreda Monroea Kenyona i Louisa Ingolda iz 1914.
• Trigonometry Encyclopædia Britannica