Graf funkcije
U matematici, graf funkcije f je skup svih uređenih parova (x, f(x)). Ako je ulazna funkcija x skalarna, njezin graf (krivulja) ima dvije dimenzije. Ako je zavisna varijabla x uređeni par (x1, x2) realnih brojeva, graf (površina) je skup svih uređenih trojki (x1, x2, f(x1, x2)).
U znanosti, inženjerstvu, tehnologiji, financijama i drugim područjima, grafovi se koriste za različite svrhe. U najjednostavnijem slučaju jedna se varijabla grafički prikazuje kao funkcija druge varijable, obično pomoću pravokutnih osi.
U poljima moderne matematike, poput teorije skupova, funkcija i njezin graf označavaju isti koncept.[1]
Vrste grafova
Ovisno o najvećoj potenciji nepoznanice, postoji više vrsta grafova:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/95/Graph_describing_a_linear_function.svg/220px-Graph_describing_a_linear_function.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2b/Graf_of_linear_equation.png/150px-Graf_of_linear_equation.png)
Linearna funkcija
Funkciju zadanu formulom
, zovemo linearna funkcija, a graf joj iskazujemo pravcem. Varijabla l označava sjecište grafa s y-osi, dok varijabla k izražava nagib pravca. Nagib k može se izračunati kao
ili kao tangens kuta pravca nad x-osi. Derivacija linearne funkcije iskazana je njenim nagibom.
Kvadratna funkcija
Ako pak funkcija ima oblik , zovemo ju kvadratna funkcija. Ako je funkcija oblika
, odnosno jednostavnije,
, tad se naziva bikvadratna funkcija. Funkcije ovog oblika su parabole, čija realna rješenja (nultočke[a]) x1 i x2 nakon izjednačavanja s nulom daju odsječke grafa na x-osi, sukladno formuli
. Tjeme kvadratne funkcije možemo dobiti općom formulom
, ili jednostavnije
, gdje su a, b i c koeficijenti kvadratne funkcije. Ako je varijabla a pozitivna, funkcija prvo pada pa raste, a ako je negativna događa se obrnuto. S obzirom na to da je najveća potencija funkcije parna (2), funkcija počinje i završava na istoj "strani" grafa. Derivacija kvadratne funkcije je pravac 2ax+b.
Diskriminanta funkcije
Diskriminanta je vrijednost opisana formulom , gdje su a, b i c koeficijenti kvadratne jednadžbe, koja nam govori koliko rješenja ima određena kvadratna jednadžba. Ako je vrijednost diskriminante veća od nule, funkcija tad dodiruje x-os u barem dvije točke, a njezina jednadžba ima dva realna rješenja. Ako je D=0, tjeme funkcije leži na x-osi (dodiruje x-os u jednoj točki), a njezina jednadžba ima jedno realno i jedno kompleksno rješenje. Ako je diskriminanta manja od nule, funkcija ne dodiruje x-os, i ima dva kompleksna rješenja.
Funkcije višeg reda
Funkcija oblika naziva se polinom n-tog reda/stupnja. Svaki se takav polinom može napisati u obliku produkta:
, gdje su x1, x2, ... xn sva rješenja jednadžbe f(x)=0. Racionalna funkcija zadana je formulom
, gdje su g i h polinomi (h ne smije biti nula).
Eksponencijalna funkcija
Logaritamska funkcija
Trigonometrijska funkcija
Oblici jednadžbe funkcije
Eksplicitni
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2b/Graf_of_linear_equation.png/380px-Graf_of_linear_equation.png)
Eksplicitna jednadžba funkcije ima oblik , gdje je a nagib pravca, dok je b odsječak pravca na y-osi.
Implicitni
Implicitna jednadžba funkcije ima oblik Ax+By+C = 0 i opisuje implicitnu funkciju, koja u odnos stavlja nezavisnu varijablu x i ovisnu (implicitnu) varijablu y. Primjerice, jednadžba jedinične kružnice definira y kao implicitnu funkciju varijable x ako je
, a y je ograničen na ne-negativne vrijednosti.
Inverzne funkcije se često zapisuju u implicitnom obliku jer nije moguće sve inverzne funkcije napisati eksplicitno.
Algebarske funkcije su funkcije koje zadovoljavaju polinomnu jednadžbu čiji su koeficijenti također polinomi. Često se zbog lakoće i kratkoće zapisa iste zapisuju u implicitnom obliku. Gornja jednadžba jedinične kružnice je algebarska jednadžba. Ona se može eksplicitno zapisati kao , što vrijedi i za sve jednadžbe drugog, trećeg i četvrtog stupnja, no ne uvijek i za jednadžbe petog i viših stupnjeva. Primjerice, jednadžbu petog stupnja
nije moguće zapisati u eksplicitnom obliku.
S obzirom da implicitne jednadžbe često imaju više rješenja (broj rješenja odgovara stupnju funkcije, odnosno najvišoj potenciji), često je nužno postaviti ograničenja na dozvoljene nultočke grafova i domenu funkcije.
Implicitna jednadžba može se pretvoriti u eksplicitni oblik
gdje je
I
, odnosno
.
Segmentni
Segmentna jednadžba funkcije direktno prikazuje odsječke (segmente) na y-osi i x-osi. Općeniti oblik zapisuje se kao gdje je m odsječak na y-osi, a n odsječak na x-osi . Iz eksplicitno zapisane jednadžbe
može se dobiti da je
i
, odnosno
.
Eksponencijalni
Postupak skiciranja
Bilješke
Izvori
Vanjske poveznice
- Graph of function, derivative and antiderivative plotter Arhivirana inačica izvorne stranice od 18. ožujka 2016. (Wayback Machine)
- Weisstein, Eric W. "Function Graph." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
- Graphing slope-intercept - simulacija povezanosti funkcije i izgleda grafa, PhET, Sveučilište u Coloradu