פונקציית מחלקים

פונקציית מחלקים ${\displaystyle \ \sigma _{x}(n)}$ מוגדרת כסכום של המחלקים בחזקת x של n, או:

${\displaystyle \sigma _{x}(n)=\sum _{d|n}d^{x}\,\!.}$

הפונקציה הסופרת את מספר המחלקים מסומנת ב-${\displaystyle \ d(n)}$ או ב-${\displaystyle \ \tau (n)}$ (פונקציית הטאו) והיא בעצם ${\displaystyle \ \sigma _{0}(n)}$ . כלומר:

${\displaystyle \sigma _{0}(n)\equiv \tau (n)\equiv d(n)}$

כאשר x הוא 1 זוהי פונקציית סכום המחלקים, ואז משמיטים את הכתיב התחתון.

${\displaystyle \sigma _{1}(n)\equiv \sigma (n)}$

לכל מספר ראשוני p:

${\displaystyle \ \sigma _{0}(p)=2}$

${\displaystyle \ \sigma _{1}(p)=p+1}$

ובאופן כללי אם ${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{k_{i}}}$ הוא הפירוק לגורמים של n, אז:

${\displaystyle \sigma _{x}(n)=\prod _{i=1}^{r}(1+p_{i}^{x}+p_{i}^{2x}+\cdots +p_{i}^{k_{i}x})=\prod _{i=1}^{r}\sum _{j=0}^{k_{i}}p_{i}^{jx}=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{(k_{i}+1)x}-1}{p_{i}^{x}-1}}}$

ובפרט:

${\displaystyle d(n)=\prod _{i=1}^{r}(k_{i}+1)}$

שני טורי דיריכלה המשתמשים בפונקציית המחלקים הם

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\zeta (s-a)}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}}}$

טור למברט המשתמש בפונקציית המחלקים הוא:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}}$

ההתנהגות של פונקציית המחלקים היא אי-רגולרית.קצב הגידול שלה ניתן לביטוי על ידי

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {\sigma (n)}{n\ \log \log n}}=e^{\gamma }}$

כאשר הוא ${\displaystyle \ \gamma }$ קבוע אוילר.

סדרת מחלקים

מדיה וקבצים בנושא פונקציית מחלקים בוויקישיתוף

• פונקציית מחלקים, באתר MathWorld (באנגלית)