פונקציה הומוגנית

תהי ${\displaystyle f:V\to W}$ פונקציה בין שני מרחבים וקטורים מעל לשדה ${\displaystyle F}$ , ויהי ${\displaystyle k}$ מספר שלם.
אזי ${\displaystyle f}$ תיקרא הומוגנית מסדר ${\displaystyle k}$ אם ${\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {v} )}$ לכל ${\displaystyle 0\neq \alpha \in F}$ ולכל ${\displaystyle v\in V}$ .

כאשר המרחבים הווקטוריים הם מעל המספרים הממשיים מגדירים פונקציה הומוגנית חיובית מסדר ${\displaystyle k}$ כאשר הדרישה ${\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {v} )}$ צריכה להתקיים רק עבור ${\displaystyle \alpha >0}$ חיובי, ו-${\displaystyle k}$ יכול להיות כל מספר מרוכב.

כמו כן, במקרה שבו ${\displaystyle F}$ הוא שדה הממשיים או המרוכבים, מגדירים פונקציה הומוגנית בהחלט מסדר ${\displaystyle k}$ אם מתקיים ${\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=|\alpha |^{k}f(\mathbf {v} )}$ לכל ${\displaystyle \alpha \in F}$ .

כל העתקה ליניארית ${\displaystyle f:V\to W}$ היא פונקציה הומוגנית מסדר 1 שכן על פי הגדרת הליניאריות: ${\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha f(\mathbf {v} )}$ לכל ${\displaystyle \alpha \in F}$ ולכל ${\displaystyle v\in V}$ .

כל מונום (חד-איבר) ב-${\displaystyle n}$ משתנים מגדיר פונקציה הומוגנית ${\displaystyle f:F^{n}\to F}$ . לדוגמה, שטח של ריבוע ${\displaystyle S(a)=a^{2}}$ הוא מונום הומוגני ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ מסדר שני, כי אם מכפילים את אורך הצלע בקבוע, מקבלים מכפלה של אותו קבוע בחזקה שנייה עם השטח הרגיל, כלומר ${\displaystyle S(ca)=c^{2}a^{2}=c^{2}S(a)}$ .

סכום של מונומים הומוגניים מאותו סדר מהווה פולינום הומוגני. לדוגמה: ${\displaystyle x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}}$ הוא פולינום הומוגני מסדר 5.

הפונקציה הרציונלית הנוצרת מחלוקה של שני פולינומים הומוגניים, היא פונקציה הומוגנית למעט בנקודות בהן הפונקציה במכנה מתאפסת.

כלומר אם ${\displaystyle f}$ פולינום הומוגני מסדר ${\displaystyle m}$ ו-${\displaystyle g}$ פולינום הומוגני מסדר ${\displaystyle n}$ , אזי ${\displaystyle {\frac {f}{g}}}$ היא פונקציה הומוגנית מסדר ${\displaystyle m-n}$ בכל הנקודות חוץ מבשורשים של ${\displaystyle g}$ .

פונקציות רציונליות הומוגניות מסדר 0, כגון ${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}+z^{2}}{(x+2y+3z)^{2}}}}$ , מוגדרות היטב על הנקודות של המישור הפרויקטיבי.

כל פונקציה תת-ליניארית היא בהחלט הומוגנית חיובית מסדר 1, זאת על פי הגדרתה. לעומת זאת, כל נורמה-למחצה (ובפרט כל נורמה) היא הומוגנית בהחלט מסדר 1.

לעיתים הפונקציה היא הומוגנית מסדרים שונים עבור הפרמטרים השונים, כך למשל אנרגיה קינטית ${\displaystyle E_{k}(m,v)={\frac {1}{2}}mv^{2}}$ היא פונקציה הומוגנית מסדר שני עבור המהירות, כי אם מכפילים את המהירות בקבוע מקבלים מכפלה של אותו קבוע בחזקה השנייה עם האנרגיה הקינטית המקורית ${\displaystyle E_{k}(m,cv)={\frac {1}{2}}mc^{2}v^{2}}$ , לעומת זאת עבור המסה זוהי פונקציה הומוגנית מסדר ראשון מכיוון שמתקיים ${\displaystyle E_{k}(cm,v)={\frac {1}{2}}cmv^{2}}$ .

במקרים אחרים הפונקציה היא הומוגנית רק עבור חלק מהפרמטרים, למשל עבור התפרקות רדיואקטיבית מספר האטומים שנותרו בחומר לאחר פרק זמן ${\displaystyle t}$ נתון על ידי ${\displaystyle N(N_{0},t,\tau )=N_{0}\cdot e^{-{\frac {t}{\tau }}}}$ , ובעוד שמתקיים ${\displaystyle N(cN_{0},t,\tau )=cN(N_{0},t,\tau )}$ , קרי ${\displaystyle N}$ היא פונקציה הומוגנית מסדר ראשון עבור ${\displaystyle N_{0}}$ , היא אינה הומוגנית במשתנים האחרים.

תהי ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ פונקציה חלקה אזי ${\displaystyle f}$ הומוגנית חיובית מסדר ${\displaystyle k}$ אם ורק אם:

${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=\sum _{i\,=\,1}^{n}x_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}=kf(\mathbf {x} )}$

${\displaystyle \Leftarrow }$ : תהי ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ פונקציה חלקה והומוגנית חיובית מסדר ${\displaystyle k}$ . אזי ${\displaystyle f(a\mathbf {x} )=a^{k}f(\mathbf {x} )}$ . נגזור את שני האגפים לפי ${\displaystyle a}$ ונקבל

${\displaystyle {\frac {df(a\mathbf {x} )}{da}}=\mathbf {x} \cdot \nabla f(a\mathbf {x} )=ka^{k-1}f(\mathbf {x} )}$

מכיוון שהומוגניות היא תכונה שמתקיימת לכל ${\displaystyle a}$ , נציב ${\displaystyle a=1}$ ונקבל ${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )}$ .

${\displaystyle \Rightarrow }$ : תהי ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ פונקציה חלקה המקיימת ${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )}$ לכל ${\displaystyle \mathbf {x} }$ .

נבחר ${\displaystyle \mathbf {x} }$ כלשהו ונגדיר ${\displaystyle g(a)=a^{-k}f(a\mathbf {x} )}$ . כעת:

${\displaystyle {\frac {dg}{da}}=-ka^{-k-1}f(a\mathbf {x} )+a^{-k}\mathbf {x} \cdot \nabla f(a\mathbf {x} )}$

נציב ${\displaystyle a\mathbf {x} \cdot \nabla f(a\mathbf {x} )=kf(a\mathbf {x} )}$ ונקבל

${\displaystyle {\frac {dg}{da}}=-ka^{-k-1}f(a\mathbf {x} )+a^{-k}{\frac {kf(a\mathbf {x} )}{a}}=0}$

לכן ${\displaystyle g}$ היא פונקציה קבועה.

נשים לב כי ${\displaystyle g(1)=f(\mathbf {x} )}$ , לכן לכל ${\displaystyle a>0}$ מתקיים ${\displaystyle g(a)=f(\mathbf {x} )}$ . כלומר ${\displaystyle f(a\mathbf {x} )=a^{k}f(\mathbf {x} )}$ ^[1]

עבור פונקציה ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ גזירה והומוגנית חיובית מסדר ${\displaystyle k}$ נקבל כי ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}}$ היא הומוגנית מסדר ${\displaystyle k-1}$ . כלומר:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}{\bigg |}_{cx}=c^{k-1}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}{\bigg |}_{x}}$

תוצאה זו מתקבלת מגזירת משפט אוילר לפי ${\displaystyle x_{i}}$ . שכן על פי משפט אוילר:

${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )}$

נגזור לפי ${\displaystyle x_{i}}$ ונקבל

${\displaystyle {\frac {\partial (\mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} ))}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}+\mathbf {x} \cdot \nabla {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}=k{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}}$

ולכן

${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \nabla {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}=(k-1){\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}}$

הפעלת הצד השני של משפט אוילר תיתן את התוצאה.

• פונקציה הומוגנית, באתר MathWorld (באנגלית)