משפט רושה-קפלי

נתונה מערכת משוואות ליניאריות מהצורה הכללית הבאה:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{2}\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&b_{m}\\\end{alignedat}}}$

נסמן ב-${\displaystyle [A]}$ מטריצת המקדמים הסקלריים, ב-${\displaystyle \mathbf {x} }$ את וקטור המשתנים וב-${\displaystyle \mathbf {b} }$ את וקטור המקדמים החופשיים:

${\displaystyle [A]={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}}$

המשפט קובע כי למערכת המשוואות ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$ קיים פתרון, אם ורק אם הדרגה של המטריצה ${\displaystyle [A]}$ , שווה לדרגה של המטריצה ${\displaystyle [A|\mathbf {b} ]}$ , המתקבלת מהוספת ${\displaystyle \mathbf {b} }$ כעמודה ב-${\displaystyle [A]}$ . כלומר, ${\displaystyle \operatorname {rank} [A]=\operatorname {rank} [A|\mathbf {b} ]}$ .

כמו כן, כאשר יש פתרונות הם מהווים מרחב אפיני מממד ${\displaystyle n-\operatorname {rank} [A]}$ (הזזה של מרחב וקטורי מאותו ממד). בפרט כאשר ${\displaystyle n=\operatorname {rank} [A]}$ המרחב הוא אפס ממדי ויש פתרון אחד בלבד. אחרת, יש אינסוף פתרונות.

הוכחה כי למערכת המשוואות קיים פתרון אם ורק אם הדרגה של ${\displaystyle [A]}$ שווה לדרגה של ${\displaystyle [A|\mathbf {b} ]}$ .

כיוון אחד של השקילות

נניח כי למערכת ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$ יש פתרון ${\displaystyle \mathbf {c} }$ . כלומר, מתקיים כי ${\displaystyle A\mathbf {c} =\mathbf {b} }$ .

נבטא זאת באופן מפורש:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots \\a_{m1}\end{bmatrix}}c_{1}+{\begin{bmatrix}a_{12}\\a_{22}\\\vdots \\a_{m2}\end{bmatrix}}c_{2}+\ldots +{\begin{bmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\\vdots \\a_{mn}\end{bmatrix}}c_{n}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}}$

מכאן ש-${\displaystyle \mathbf {b} }$ הוא צירוף ליניארי של העמודות של ${\displaystyle [A]}$ . כלומר הוא שייך למרחב שנפרש על ידי וקטורי העמודות, ולכן ממד מרחב העמודות (הוא הדרגה של ${\displaystyle [A]}$ ) נשמר כנדרש.

כיוון שני של השקילות

נניח כי הדרגה אחרי הוספת ${\displaystyle \mathbf {b} }$ זהה. כלומר ${\displaystyle \dim \mathrm {Span} (\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} ,\ldots ,\mathbf {a_{n}} )=\dim \mathrm {Span} (\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} ,\ldots ,\mathbf {a_{n}} ,\mathbf {b} )}$ , כאשר ${\displaystyle \mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} ,\ldots ,\mathbf {a_{n}} }$ הם העמודות של ${\displaystyle [A]}$ .

${\displaystyle \mathrm {Span} (\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} ,\ldots ,\mathbf {a_{n}} )}$ הוא תת-מרחב וקטורי של ${\displaystyle \mathrm {Span} (\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} ,\ldots ,\mathbf {a_{n}} ,\mathbf {b} )}$ , ומכיוון שממדיהם שווים הם בהכרח שווים.^[1]

הוכחנו ש-${\displaystyle \mathrm {Span} (\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} ,\ldots ,\mathbf {a_{n}} ,\mathbf {b} )=\mathrm {Span} (\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} ,\ldots ,\mathbf {a_{n}} )}$ , ולכן ${\displaystyle \mathbf {b} }$ הוא צירוף ליניארי של הווקטורים ${\displaystyle \mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} ,\ldots ,\mathbf {a_{n}} }$ . מקדמי הצירוף ${\displaystyle {(c_{1},c_{2},...,c_{n})}}$ מהווים פתרון למערכת המשוואות ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$ .

הוכחה כי קיים למערכת המשוואות פתרון יחיד אם ורק אם ${\displaystyle n=rank[A]}$ .

כיוון ראשון של השקילות

נניח כי עבור המערכת ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$ קיים פתרון יחיד, ונניח בשלילה כי ${\displaystyle \operatorname {rank} [A]<n}$ .^[2]

מההנחה כי ${\displaystyle \operatorname {rank} [A]<n}$ נובע שעבור המערכת ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} }$ קיימים לפחות שני פתרונות. זה עומד בסתירה להנחה שלמערכת ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$ יש פתרון יחיד, כי אם ${\displaystyle \mathbf {x} }$ פתרון שלה, הרי שגם אם נוסיף לו כל אחד משני הפתרונות של המערכת שערכה ${\displaystyle \mathbf {0} }$ נקבל את אותה תוצאה.

כיוון שני של השקילות

נניח כי ${\displaystyle rank[A]=n}$ , ונניח בשלילה שלמערכת ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$ קיימים שני פתרונות שונים.

מהנתון ${\displaystyle rank[A]=n}$ נובע כי למערכת ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} }$ יש פתרון יחיד - הפתרון הטריוויאלי ${\displaystyle \mathbf {0} }$ . אם נבחן את ההפרש של שני הפתרונות של ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$ נקבל גם כן ${\displaystyle \mathbf {0} }$ , ולכן בהכרח שני הפתרונות שווים.