הומולוגיה (מתמטיקה)

במתמטיקה, הומולוגיה היא סדרה של חבורות אבליות שאפשר להתאים לאובייקטים מסוימים. ההומולוגיה ${\displaystyle H_{i}(X)}$ של האובייקט X (כאשר i אינדקס שלם) מחושבת בדרך כלל מתוך קומפלקסי שרשרת ${\displaystyle \ C(X)}$ (זוהי למעשה הומולוגיה של קומפלקס שרשרת, ${\displaystyle H_{i}(X):=H_{i}(C(X))}$). בניית הקומפלקס ${\displaystyle C(X)}$ אינה קנונית, ועם זאת חבורות ההומולוגיה המתקבלות מן הקומפלקס תלויות אך ורק ב-X. בכך עוצמתה של הטכניקה הזו: האפשרות לבנות את קומפלקס השרשרת בדרכים שונות מאפשרת לחשב את חבורות ההומולוגיה, והיא גם מראה שההומולוגיה אינה תלויה בפרטי המבנה של X עצמו, אלא בתכונות "רכות" שלו.

חבורות הומולוגיה אפשר להגדיר עבור אובייקטים שלכאורה אין ביניהם קשר: מרחבים טופולוגיים, חבורות, קומפלקסי שרשרת וכדומה.

את מושג ההומולוגיה אפשר להעשיר על ידי הוספה של מקדמים. לדוגמה עבור מרחב טופולוגי ${\displaystyle X}$ וחבורה אבלית (או באופן כללי יותר אלומת חבורות אבליות מעל ${\displaystyle X}$)${\displaystyle M}$, ניתן להגדיר את ההומולוגיה ${\displaystyle H_{i}(X,M)}$ של ${\displaystyle X}$ עם מקדמים ב-${\displaystyle M}$. באופן דומה ניתן להגדיר הומולוגיה של חבורה ${\displaystyle \Gamma }$ עם מקדמים בהצגה ${\displaystyle M}$ של ${\displaystyle \Gamma }$.

בדרך כלל אפשר להגדיר את ההומולוגיה כפונקטור הנגזר.