באלגברה ליניארית אוריינטציה היא מבנה על מרחב ליניארי ממשי שמשעותו האינטואיטיבית קשורה לכיוון. להלן מספר דוגמאות:
אוריינטציה על מרחב וקטורי ממשי כללי, היא בחירה של איזה בסיסים (סדורים) יקראו חיוביים, ואיזה יקראו שלליים.
יהיה מרחב ליניארי ממשי
ממדי.
ניתן להגדיר את המושג אוריינטציה על כך:
הגדרה:אוריינטציה על היא מחלקת שקילות של בסיסים סדורים תחת יחס השקיליות הבא: שני בסיסים שקולים אם הדטרמיננטה של מטריצת המעבר ביניהן היא חיובית.[1]
נשים לב כי סדר האיברים בבסיס חשוב. מטריצת המעבר בין שני בסיסים עם סידור שונה היא מטריצת תמורה. בהתאם, מה שיקבע אם האוריינטציות שלהם יהיו זהות או הפוכות, הוא הדטרמיננטה של מטריצת תמורה זו או, במילם אחרות, הסימן של התמורה.
דרך אחרת להגדיר יחס שקילות זה היא על ידי השאלה הבאה:האם אפשר לעבור באופן הדרגתי ורציף מבסיס אחד לבסיס אחר, כך שבכל שלב במעבר הווקטורים תמיד יהוו בסיס. אם התשובה לשאלה זו היא חיבית אז הבסיסם שקולים.
מהגדרה זו נובע, שעל כל מרחב ליניארי (לא טריוויאלי[2]) יש בדיוק שתי אוריינטציות. בסיס במרחב ליניארי עליו נקבעה אוריינטציה נקרא חיובי אם הוא מגדיר את האוריינטציה שנקבעה ושלילי אם הוא מגדיר את האוריינטציה המנוגדת.
על מרחבים ליניאריים מסוימים מוגדר בסיס סטנדרטי.אוריינטציה שבסיס זה מגדיר נקראת האוריינטציה הסטנדרטית על המרחב. לדוגמה על המרחב האוריינטציה המוגדרת על ידי הבסיס הסטנדרטי:
נקראת האוריינטציה הסטנדרטית.
באופן דומה, על המרחב הפיזיקאלי הסובב אותנו, כלל יד ימין מגדיר את האוריינטציה הסטנדרטית. במילים אחרות, כל בסיס מהצורה נקרא חיובי ביחס לאוריינטציה הסטנדרטית.כמו כן,במישור שנמצא מולנו (כמו מישור הלוח או מישור דף הניר) מוגדרת אוריינטציה סטנדרטית על ידי בסיס בו הווקטור הראשון מופנה ימינה והשני למעלה[3].
ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה על גם באמצעות
-תבניות אנטי-סימטריות (להלן תבניות). תבנית היא פונקציה
המקיימת:
מרחב התבניות הוא חד-ממדי. לכן בין כל שתי תבניות שונות מ-0 ניתן להגדיר את מושג היחס ביניהן (זהו מספר ממשי).כעת ניתן להגדיר
הגדרה: אוריינטציה על היא מחלקת שקילות של תבניות שונות מ-0 תחת יחס השקילות הבא: שתי תבניות הפיכות שקולות אם היחס ביניהן חיובי.
הגדרה זו שקולה להגדרה באמצעות בסיס כיוון שלכל בסיס ב-
אפשר להתאים תבניות
באופן הבא: התבנית היחידה המקיימת
הדטרמיננטה של מטריצת המעבר בין שני בסיסים היא בדיוק היחס בין התבניות המתאימות להן. מכאן ששני בסיסים שקולים אם ורק אם שתי התבניות המתאימות שקולות.
ההגדרות האלה לא ברורות במקרה ש . במקרה זה המוסכמה היא שיש שתי אוריינטציות אחת מסומנת בסימן + או במספר 1 ונקראת חיובית והשנייה בסימן - או במספר 1- ונקראת שלילית.
העתקה ליניארית הפיכה ממרחב וקטורי לעצמו נקראת שומרת אוריינטציה אם הדטרמיננטה שלה היא חיובית[4] והופכת אוריינטציה אם הדטרמיננטה שלה היא שלילית. הגדרה אלטרנטיבית להעתקה שומרת אוריינטציה היא ההעתקה שניתן לשנות באופן הדרגתי ורציף כך שתתקבל בסופו של דבר העתקת הזהות וכך שבכל שלבי הביניים ההעתקה תישאר הפיכה. במילים אחרות, ההעתקות הליניאריות שומרות האוריינטציה הן בדיוק ההעתקות שנמצאת ברכיב הקשירות של היחידה בחבורת ההעתקות ההפיכות
.
מושג האוריינטציה על מרחב ליניארי עומד בבסיס מושג האוריינטציה על יריעה חלקה. אוריינטציה על יריעה חלקה היא בחירה (רציפה) של אוריינטציה על המרחב המשיק בכל נקודה של היריעה. בשונה ממרחבים ליניאריים, לא על כל יריעה חלקה יש אוריינטציה. יריעה חלקה שעליה ניתן לבחור אוריינטציה נקראת אוריינטבילית
הגדרת מושג האוריינטציה על יריעה טופולוגית כללית בדרך כלל לא מתבססת על מושג האוריינטציה על מרחב ליניארי, אולם מושג האוריינטציה על מרחב ליניארי מספק אינטואיציה טובה עבור הגדרת המושג אוריינטציה על יריעה טופולוגית כללית.
אוריינטציה | ||
---|---|---|
אוריינטציה על: | מרחב ליניארי • אגד • יריעה חלקה • יריעה טופולוגית • העתקה בין יריעות • גרף | |
אינווריאנטים המבוססים על אוריינטציה | אוריינטביליות • כיסוי האוריינטציות • קרקטר האוריינטציות • אגד האוריינטציות • אלומת האוריינטציות | |
יריעות לא אוריינטביליות ידועות | טבעת מביוס • בקבוק קליין • מישור פרויקטיבי • מרחב פרויקטיבי (מממד זוגי) |
נושאים באלגברה ליניארית | ||
---|---|---|
מושגי יסוד | שדה • מרחב וקטורי • משוואה ליניארית • מערכת משוואות ליניאריות • העתקה ליניארית • מטריצה | |
וקטורים | סקלר • כפל בסקלר • צירוף ליניארי • תלות ליניארית • קבוצה פורשת • בסיס • וקטור קואורדינטות • ממד | |
מטריצות | כפל מטריצות • שחלוף • דטרמיננטה • דירוג מטריצות • דרגה • עקבה • מטריצה מצורפת • מטריצת מעבר • מטריצה משולשית • דמיון מטריצות • ערך עצמי • פולינום אופייני • לכסון מטריצות • צורת ז'ורדן | |
העתקות | העתקה ליניארית • קואורדינטות • מטריצה מייצגת • גרעין • אנדומורפיזם • איזומורפיזם • העתקה אפינית • העתקה פרויקטיבית | |
מרחבי מכפלה פנימית | מכפלה סקלרית • מכפלה וקטורית • אורתוגונליות • מטריצה סימטרית • אופרטור הרמיטי • אופרטור אוניטרי • טרנספורמציה נורמלית • נורמה • מטריקה | |
תבניות | תבנית ביליניארית • תבנית סימטרית • תבנית הרמיטית • תבנית סימפלקטית • חפיפת מטריצות • משפט סילבסטר • תבנית מולטי-ליניארית אנטי-סימטרית • אוריינטציה • צפיפות • טנזור |