Fórmula de Euler

Nótese que esta non é unha demostración baseada nas propiedades dos números complexos e da función exponencial, senón que é necesaria a definición da exponencial complexa como o equivalente á serie de Taylor sobre os números reais para parámetros complexos.

A fórmula pode interpretarse xeometricamente como unha circunferencia unidade no plano complexo, debuxada pola función e^ix ao variar ${\displaystyle x}$ sobre os números reais. Así, ${\displaystyle x}$ é o ángulo dunha recta que conecta a orixe do plano e un punto sobre a circunferencia unidade, co eixe positivo real, medido no sentido contrario ás agullas do reloxo e en radiáns. A fórmula só é válida se tamén o seno e o coseno teñen os seus argumentos en radianes.

A fórmula de Euler foi formulada por primeira vez por Roger Cotes en 1714,^[1] e logo redescuberta e popularizada por Euler en 1748.^[2] É interesante notar que ningún dos descubridores viu a interpretación xeométrica sinalada anteriormente: a visión dos números complexos como puntos no plano xurdiu en 1787 por parte do matemático Caspar Wessel no seu único informe para a Real Academia Danesa.

Sabendo que:

${\displaystyle {\begin{aligned}i^{0}&{}=1,\quad &i^{1}&{}=i,\quad &i^{2}&{}=-1\quad &i^{3}&{}=-i,\\i^{4}&={}1,\quad &i^{5}&={}i,\quad &i^{6}&{}=-1,\quad &i^{7}&{}=-i,\\\end{aligned}}}$

e así sucesivamente.^[3] Ademais disto, as funcións e^x, cos(x) e sen(x) (asumindo que x sexa un número real) poden ser expresadas empregando as súas series de Taylor ao redor de cero.

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}&{}={\frac {x^{0}}{0!}}+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots \\\cos x&{}={\frac {x^{0}}{0!}}-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\\sin x&{}={\frac {x^{1}}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \end{aligned}}}$

Outra definición que se lle pode dar a e elevado a xe baseándose nas series de Taylor é a seguinte:

${\displaystyle e^{x}=1+{\biggl (}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}{\biggr )}}$

tamén valido para.

${\displaystyle \cos x=1+{\biggl (}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}{\biggr )}}$

${\displaystyle \sin x=1+{\biggl (}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}{\biggr )}}$

Defínese cada unha destas funcións polas series anteriores, substituíndo x por i·z, onde z é unha variable real e i a unidade imaxinaria. Isto é posible porque o raio de converxencia é infinito en cada serie. Entón atópase que:

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{iz}&{}={\frac {(iz)^{0}}{0!}}+{\frac {(iz)^{1}}{1!}}+{\frac {(iz)^{2}}{2!}}+{\frac {(iz)^{3}}{3!}}+{\frac {(iz)^{4}}{4!}}+{\frac {(iz)^{5}}{5!}}+{\frac {(iz)^{6}}{6!}}+{\frac {(iz)^{7}}{7!}}+{\frac {(iz)^{8}}{8!}}+\cdots \\&{}={\frac {z^{0}}{0!}}+i{\frac {z^{1}}{1!}}-{\frac {z^{2}}{2!}}-i{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+i{\frac {z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}-i{\frac {z^{7}}{7!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}+\cdots \\&{}=\left({\frac {z^{0}}{0!}}-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left({\frac {z^{1}}{1!}}-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\&{}=\cos(z)+i\sin(z)\end{aligned}}}$

O reordenamento é posible debido a que cada serie é absolutamente converxente. Substituíndo z = x como un número real resulta identidade orixinal como a descubriu Euler.

A fórmula proporciona unha potente conexión entre a análise matemática e a trigonometría. Utilízase para representar os números complexos en coordenadas polares e permite definir o logaritmo para números negativos e números complexos.

Neste caso, a fórmula de Euler avalíase en ${\displaystyle x=\pi }$ , obtendo a identidade de Euler:

${\displaystyle e^{\mathrm {i} \pi }=\cos \pi +\mathrm {i} \,\operatorname {sen} \pi =-1}$

${\displaystyle e^{\mathrm {i} \pi }=-1\,\!}$

Logo, ao aplicar o logaritmo natural obtense:

${\displaystyle \mathrm {i} \pi =\ln(-1)\,\!}$ .

Como extensión da ecuación anterior, o logaritmo de calquera número negativo defínese como:

${\displaystyle \ln(-a)=\ln(a)+\ln(-1)=\ln(a)+\mathrm {i} \pi \,\!}$ . Onde ${\displaystyle a>0}$ .

Ademais pode definirse o logaritmo dun número negativo en calquera base, a partir do logaritmo natural e a fórmula de cambio de base.

Unha propiedade importante da fórmula de Euler é que é a única función matemática que permanece coa mesma forma (excepto pola unidade imaxinaria) coas operacións de integración e derivación do cálculo integral, o que permite que se empregue para converter ecuacións diferenciais en ecuacións con forma alxébrica, simplificando enormemente esas operacións.

Das regras da exponenciación

${\displaystyle e^{a+b}=e^{a}\cdot e^{b}}$

e

${\displaystyle (e^{a})^{b}=e^{a\cdot b}}$

(válidas para todo par de números complexos ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ ), pódense derivar varias identidades trigonométricas, así como a fórmula de De Moivre.

A fórmula de Euler tamén permite interpretar as funcións seno e coseno como simples variacións da función exponencial:

${\displaystyle \cos x={e^{ix}+e^{-ix} \over 2}}$

${\displaystyle \operatorname {sen} x={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}}$

A partir destas igualdades, é posible definir as funcións trigonométricas para os números complexos deste xeito:^[4]

${\displaystyle \operatorname {sen} z={\cfrac {e^{zi}-e^{-zi}}{2i}}}$

${\displaystyle \cos z={\cfrac {e^{zi}+e^{-zi}}{2}}}$

${\displaystyle \tan z={\cfrac {e^{zi}-e^{-zi}}{e^{zi}+e^{-zi}}}*{\cfrac {1}{i}}}$

sendo ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ , é dicir, que pertence ao conxunto de números complexos. Estas funcións trigonométricas cumpren as leis das súas similares aplicadas aos números reais. Sexan os números complexos ${\displaystyle z}$ e ${\displaystyle w}$ , é dicir ${\displaystyle z\land w\in \mathbb {C} }$ , entón son válidas as seguintes igualdades:

${\displaystyle \cos ^{2}{z}+\operatorname {sen} ^{2}{z}=1}$

${\displaystyle \cos(-z)=\cos(z)}$

${\displaystyle \operatorname {sen}(-z)=-\operatorname {sen}(z)}$

${\displaystyle \operatorname {sen}(z+w)=\operatorname {sen}(z)\cos(w)+\operatorname {sen}(w)\cos(z)}$

${\displaystyle \cos(z+w)=\cos(z)\cos(w)-\operatorname {sen}(w)\operatorname {sen}(z)}$

Nas ecuacións diferenciais, a expresión ${\displaystyle e^{ix}}$ é utilizada a miúdo para simplificar derivadas, mesmo se a resposta final é unha función real na que aparezan senos ou cosenos. A identidade de Euler é unha consecuencia inmediata da fórmula de Euler.

Os sinais que varían periodicamente adoitan describirse como unha combinación de funcións seno e coseno, como ocorre na análise de Fourier, e estas exprésanse máis convenientemente como a parte real dunha función exponencial con expoñente imaxinario, empregando a fórmula de Euler.

• Número complexo
• Pi

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Euler formulas»
• Weisstein, Eric W. «Euler Formula».
• Elements of Algebra
• Euler's Formula and Euler's Identity : Rationale for Euler's Formula and Euler's Identity, video at Khanacademy.org