Coordenadas baricéntricas

Sexan ${\displaystyle A_{0},\ldots ,A_{n}}$ , n + 1 puntos nun espazo euclidiano, un espazo afín ${\displaystyle \mathbf {A} }$ de dimensión n, que son puntos afinmente independentes; isto significa que non hai un subespazo afín de dimensión n − 1 que conteña tódolos puntos,^[6] ou equivalentemente, que os puntos definan un simplex. Dado calquera punto ${\displaystyle P\in \mathbf {A} ,}$ existen os escalares ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$ , que non son todos cero, tal que$${\displaystyle (a_{0}+\cdots +a_{n}){\overset {}{\overrightarrow {OP}}}=a_{0}{\overset {}{\overrightarrow {OA_{0}}}}+\cdots +a_{n}{\overset {}{\overrightarrow {OA_{n}}}},}$$ para calquera punto O (Como é habitual, a notación ${\displaystyle {\overset {}{\overrightarrow {AB}}}}$ representa o vector de translación ou vector libre que mapea o punto A no punto B).

Os elementos dunha tupla ${\displaystyle (a_{0}:\dotsc :a_{n})}$ con (n + 1) elementos que satisfagan esta ecuación denomínanse coordenadas baricéntricas de P en relación a ${\displaystyle A_{0},\ldots ,A_{n}.}$ O uso dos dous puntos na notación da tupla significa que as coordenadas baricéntricas son unha especie de coordenadas homoxéneas, é dicir, o punto non muda se todas as coordenadas se multiplican pola mesma constante distinta de cero. A maiores, as coordenadas baricéntricas tampouco non se modifican se muda o punto auxiliar O, a orixe.

Como xa se comentou dúas tuplas de coordenadas baricéntricas especifican o mesmo punto se e só se son proporcionais. É dicir, dúas tuplas ${\displaystyle (a_{0}:\dotsc :a_{n})}$ e ${\displaystyle (b_{0}:\dotsc :b_{n})}$ son coordenadas baricéntricas do mesmo punto se e só se hai un escalar distinto de cero ${\displaystyle \lambda }$ tal que ${\displaystyle b_{i}=\lambda a_{i}}$ por cada i. Por tanto pódense restrinxir os valores ao intervalo [0,1] dividindo cada ${\displaystyle a_{i}}$ pola suma de todos os ${\displaystyle a_{i}.}$ Deste modo nos referimos a coordenadas baricéntricas normalizadas ou absolutas.

No contexto dun triángulo, as coordenadas baricéntricas tamén se coñecen como coordenadas de área, porque as coordenadas de P en relación ao triángulo ABC son equivalentes ás razóns (con signos) das áreas de PBC, PCA e PAB á área do triángulo de referencia ABC. As coordenadas de área e as coordenadas trilineares utilízanse con fins similares en xeometría.

Considere un triángulo ${\displaystyle ABC}$ con vértices ${\displaystyle A=(a_{1},a_{2})}$ , ${\displaystyle B=(b_{1},b_{2})}$ , ${\displaystyle C=(c_{1},c_{2})}$ no plano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ . Cada triángulo ${\displaystyle ABC}$ ten unha área con signo que imos denominar sarea:

${\displaystyle \operatorname {sarea} (ABC)=\pm \operatorname {area} (ABC).}$

O signo é positivo se o camiño de ${\displaystyle A}$ -${\displaystyle B}$ -${\displaystyle C}$ -${\displaystyle A}$ vai no sentido contrario ás agullas do reloxo e negativo se o camiño vai no sentido das agullas do reloxo.

Sexa ${\displaystyle P}$ un punto no plano e ${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})}$ as súas coordenadas baricéntricas normalizadas en relación ao triángulo ${\displaystyle ABC}$ , así temos

${\displaystyle P=\lambda _{1}A+\lambda _{2}B+\lambda _{3}C}$ .

Onde

${\displaystyle 1=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&=\operatorname {sarea} (PBC)/\operatorname {sarea} (ABC).\\\lambda _{2}&=\operatorname {sarea} (APC)/\operatorname {sarea} (ABC).\\\lambda _{3}&=\operatorname {sarea} (ABP)/\operatorname {sarea} (ABC).\end{aligned}}}$

Sexa ${\displaystyle D=-A+B+C,}$

daquela ${\displaystyle ABCD}$ é un paralelogramo porque os seus pares de lados opostos, representados polos pares de vectores de desprazamento ${\displaystyle D-C=B-A}$ , e ${\displaystyle D-B=C-A}$ , son paralelos e congruentes.

O triángulo ${\displaystyle ABC}$ é a metade do paralelogramo ${\displaystyle ABDC}$ , polo que o douplo da súa área con signo é igual á área con signo do paralelogramo, que vén dada polo determinante ${\displaystyle 2\times 2}$ , ${\displaystyle \det(B-A,C-A)}$ cuxas columnas son os vectores de desprazamento ${\displaystyle B-A}$ e ${\displaystyle C-A}$

${\displaystyle \operatorname {sarea} (ABCD)=\det {\begin{pmatrix}b_{1}-a_{1}&c_{1}-a_{1}\\b_{2}-a_{2}&c_{2}-a_{2}\end{pmatrix}}}$

que podemos escribir como

${\displaystyle {\begin{aligned}\det(B-A,C-A)&=\det(B,C)-\det(A,C)-\det(B,A)+\det(A,A)\\&=\det(A,B)+\det(B,C)+\det(C,A)\end{aligned}}}$

así

${\displaystyle 2\operatorname {sarea} (ABC)=\det(A,B)+\det(B,C)+\det(C,A),}$

e tamén temos que

${\displaystyle 2\operatorname {sarea} (PBC)=\det(P,B)+\det(B,C)+\det(C,P)}$ .

Para obter a ratio destas áreas con signo, expresamos ${\displaystyle P}$ na segunda fórmula en función das súas coordenadas baricéntricas:

${\displaystyle {\begin{aligned}2\operatorname {sarea} (PBC)&=\det(\lambda _{1}A+\lambda _{2}B+\lambda _{3}C,B)+\det(B,C)+\det(C,\lambda _{1}A+\lambda _{2}B+\lambda _{3}C)\\&=\lambda _{1}\det(A,B)+\lambda _{3}\det(C,B)+\det(B,C)+\lambda _{1}\det(C,A)+\lambda _{2}\det(C,B)\\&=\lambda _{1}\det(A,B)+\lambda _{1}\det(C,A)+(1-\lambda _{2}-\lambda _{3})\det(B,C)\end{aligned}}.}$

Metendo este resultado na primeira fórmula obtemos

${\displaystyle {\begin{aligned}2\operatorname {sarea} (PBC)&=\lambda _{1}(\det(A,B)+\det(B,C)+\det(C,A))\\&=(\lambda _{1})(2\operatorname {sarea} (ABC))\end{aligned}}}$ .

Polo tanto

${\displaystyle \lambda _{1}=\operatorname {sarea} (PBC)/\operatorname {sarea} (ABC)}$ .

De forma similar teríamos

${\displaystyle \lambda _{2}=\operatorname {sarea} (APC)/\operatorname {sarea} (ABC)}$

${\displaystyle \lambda _{3}=\operatorname {sarea} (ABP)/\operatorname {sarea} (ABC)}$ .

Aquí móstranse as coordenadas baricéntricas dalgúns puntos notables do triángulo:

• ${\displaystyle A(1,0,0)}$
• ${\displaystyle B(0,1,0)}$
• ${\displaystyle C(0,0,1)}$
• punto medio de ${\displaystyle [BC]\,(0,1,1)}$
• punto medio de ${\displaystyle [CA]\,(1,0,1)}$
• punto medio de ${\displaystyle [AB]\,(1,1,0)}$
• centro de gravidade ${\displaystyle G(1,1,1)}$
• centro do circunferencia inscrita ${\displaystyle I(a,b,c)}$ ou ${\displaystyle (\sin {\widehat {A}},\sin {\widehat {B}},\sin {\widehat {C}}).}$
• centro do circunferencia circunscrita ${\displaystyle O(a\cos {\widehat {A}},b\cos {\widehat {B}},c\cos {\widehat {C}})}$ ou ${\displaystyle (\sin 2{\hat {A}},\sin 2{\hat {B}},\sin 2{\hat {C}})}$ ou ${\displaystyle \left(a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2}),b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2}),c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\right)}$ .
• ortocentro ${\displaystyle H(a/\cos {\widehat {A}},b/\cos {\widehat {B}},c/\cos {\widehat {C}})}$ ou ${\displaystyle (\tan {\widehat {A}},\tan {\widehat {B}},\tan {\widehat {C}})}$
• centro do circunferencia dos nove puntos (circunferencia de Euler) ${\displaystyle \Omega (a\cos({\widehat {B}}-{\widehat {C}}),b\cos({\widehat {C}}-{\widehat {A}}),c\cos({\widehat {A}}-{\widehat {B}}))}$
• punto simediano ${\displaystyle (a^{2},b^{2},c^{2})}$

As coordenadas baricéntricas de miles de puntos notables do triángulo pódense atopar na encyclopedia of triangle centers (ETC).

As coordenadas trilineares ${\displaystyle (\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3})}$ de ${\displaystyle P}$ son distancias de ${\displaystyle P}$ ás liñas BC, AC e AB con signo, respectivamente. O signo de ${\displaystyle \gamma _{1}}$ é positivo se ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle A}$ se atopan no mesmo lado de BC, negativo en caso contrario. Similarmente para ${\displaystyle \gamma _{2}}$ e ${\displaystyle \gamma _{3}}$ .

Sexa

${\displaystyle a=\operatorname {length} (BC)}$ , ${\displaystyle b=\operatorname {length} (CA)}$ , ${\displaystyle c=\operatorname {length} (AB)}$ .

Daquela

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{1}a&=\pm 2\operatorname {sarea} (PBC)\\\gamma _{2}b&=\pm 2\operatorname {sarea} (APC)\\\gamma _{3}c&=\pm 2\operatorname {sarea} (ABP)\end{aligned}}}$ .

Os tres signos son positivos se o triángulo ABC está orientado positivamente e negativos no caso contrario. As relacións entre coordenadas trilineares e baricéntricas obtéñense substituíndo estas fórmulas nas fórmulas anteriores que expresan coordenadas baricéntricas como ratios entre áreas.

Un punto con coordenadas trilineares x : y : z ten coordenadas baricéntricas ax : by : cz onde a, b, c son as lonxitudes dos lados do triángulo. Pola contra, un punto con baricéntricas ${\displaystyle \lambda _{1}:\lambda _{2}:\lambda _{3}}$ ten trilineares ${\displaystyle \lambda _{1}/a:\lambda _{2}/b:\lambda _{3}/c.}$

Podemos escribir as coordenadas cartesianas do punto ${\displaystyle \mathbf {r} }$ como ás compoñentes cartesianas dos vértices do triángulo${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$ , ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$ , ${\displaystyle \mathbf {r} _{3}}$ onde ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}=(x_{i},y_{i})}$ e así temos ás coordenadas baricéntricas de ${\displaystyle \mathbf {r} }$ como

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\lambda _{3}x_{3}\\[2pt]y&=\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}+\lambda _{3}y_{3}\end{aligned}}}$

É dicir, as coordenadas cartesianas de calquera punto son unha media ponderada das coordenadas cartesianas dos vértices do triángulo, sendo os pesos as coordenadas baricéntricas normalizadas do punto.

Para atopar a transformación inversa, de coordenadas cartesianas a coordenadas baricéntricas, primeiro substituímos ${\displaystyle \lambda _{3}=1-\lambda _{1}-\lambda _{2}}$ no anterior para obter

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2})x_{3}.\\[2pt]y&=\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2})y_{3}.\end{aligned}}}$

Reorganizando, isto é

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}(x_{1}-x_{3})+\lambda _{2}(x_{2}-x_{3})+x_{3}-x&=0.\\\lambda _{1}(y_{1}-y_{3})+\lambda _{2}(y_{2}-\,y_{3})+y_{3}-\,y&=0.\end{aligned}}}$

Esta transformación linear pódese escribir de forma máis sucinta como

${\displaystyle \mathbf {T} \cdot \lambda =\mathbf {r} -\mathbf {r} _{3}}$

onde ${\displaystyle \lambda }$ é o vector das dúas primeiras coordenadas baricéntricas, ${\displaystyle \mathbf {r} }$ é o vector de coordenadas cartesianas, e ${\displaystyle \mathbf {T} }$ é unha matriz dada por

${\displaystyle \mathbf {T} =\left({\begin{matrix}x_{1}-x_{3}&x_{2}-x_{3}\\y_{1}-y_{3}&y_{2}-y_{3}\end{matrix}}\right)}$

Agora a matriz ${\displaystyle \mathbf {T} }$ é invertíbel, xa que ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{3}}$ e ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{3}}$ son linearmente independentes (se non fose o caso, entón ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$ , ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$ , e ${\displaystyle \mathbf {r} _{3}}$ serían colineares e non formarían un triángulo). Así, podemos reorganizar a ecuación anterior para obter

${\displaystyle \left({\begin{matrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\end{matrix}}\right)=\mathbf {T} ^{-1}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{3})}$

Achar as coordenadas baricéntricas reduciuse así a atopar a matriz inversa de ${\displaystyle \mathbf {T} }$ .

Explicitamente, as fórmulas para as coordenadas baricéntricas do punto ${\displaystyle \mathbf {r} }$ en función das súas coordenadas cartesianas (x, y) e en función das coordenadas cartesianas dos vértices do triángulo son:$${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}=&\ {\frac {(y_{2}-y_{3})(x-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y-y_{3})}{\det(\mathbf {T} )}}\\[4pt]&={\frac {(y_{2}-y_{3})(x-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y-y_{3})}{(y_{2}-y_{3})(x_{1}-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y_{1}-y_{3})}}\\[4pt]&={\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} )}{(\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} )}}\\[12pt]\lambda _{2}=&\ {\frac {(y_{3}-y_{1})(x-x_{3})+(x_{1}-x_{3})(y-y_{3})}{\det(\mathbf {T} )}}\\[4pt]&={\frac {(y_{3}-y_{1})(x-x_{3})+(x_{1}-x_{3})(y-y_{3})}{(y_{2}-y_{3})(x_{1}-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y_{1}-y_{3})}}\\[4pt]&={\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} )}{(\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} )}}\\[12pt]\lambda _{3}=&\ 1-\lambda _{1}-\lambda _{2}\\[4pt]&=1-{\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} )}{(\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} )}}\\[4pt]&={\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r_{1}} )\times (\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} )}{(\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} )}}\end{aligned}}}$$

Os tres lados a, b, c teñen, respectivamente, ecuacións^[7]

${\displaystyle \lambda _{1}=0,\quad \lambda _{2}=0,\quad \lambda _{3}=0.}$

A ecuación da recta de Euler dun triángulo é ^[7]

${\displaystyle {\begin{vmatrix}\lambda _{1}&\lambda _{2}&\lambda _{3}\\1&1&1\\\tan A&\tan B&\tan C\end{vmatrix}}=0.}$

O vector de desprazamento de dous puntos ${\displaystyle P=(p_{1},p_{2},p_{3})}$ e ${\displaystyle Q=(q_{1},q_{2},q_{3})}$ é^[8]

${\displaystyle {\overset {}{\overrightarrow {PQ}}}=(p_{1}-q_{1},p_{2}-q_{2},p_{3}-q_{3}).}$

A distancia d entre P e Q, é ^{[7] [8]}

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{2}&=|PQ|^{2}\\[2pt]&=-a^{2}yz-b^{2}zx-c^{2}xy\\[4pt]&={\frac {1}{2}}\left[x^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+y^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})+z^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\right].\end{aligned}}}$ onde a, b, c son as lonxitudes dos lados do triángulo. A equivalencia das dúas últimas expresións segue de ${\displaystyle x+y+z=0,}$ que se cumpre porque

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y+z&=(p_{1}-q_{1})+(p_{2}-q_{2})+(p_{3}-q_{3})\\[2pt]&=(p_{1}+p_{2}+p_{3})-(q_{1}+q_{2}+q_{3})\\[2pt]&=1-1=0.\end{aligned}}}$

As coordenadas baricéntricas dun punto pódense calcular en función das distancias d_i aos tres vértices do triángulo resolvendo a ecuación

${\displaystyle \left({\begin{matrix}-c^{2}&c^{2}&b^{2}-a^{2}\\-b^{2}&c^{2}-a^{2}&b^{2}\\1&1&1\end{matrix}}\right){\boldsymbol {\lambda }}=\left({\begin{matrix}d_{A}^{2}-d_{B}^{2}\\d_{A}^{2}-d_{C}^{2}\\1\end{matrix}}\right).}$

• Scott, J. A. Some examples of the use of areal coordinates in triangle geometry, Mathematical Gazette 83, novembro 1999, 472–477.
• Schindler, Max; Chen, Evan (xullo 13, 2012). Barycentric Coordinates in Olympiad Geometry (PDF). accedido 14 xaneiro 2016.
• Clark Kimberling's Encyclopedia of Triangles Encyclopedia of Triangle Centers. Archived from the original on 2012-04-19.
• Bradley, Christopher J. (2007). The Algebra of Geometry: Cartesian, Areal and Projective Co-ordinates. Bath: Highperception. ISBN 978-1-906338-00-8. 
• Coxeter, H.S.M. (1969). Introduction to geometry (2nd ed.). John Wiley and Sons. pp. 216–221. ISBN 978-0-471-50458-0. Zbl 0181.48101. 
• Barycentric Calculus In Euclidean And Hyperbolic Geometry: A Comparative Introduction, Abraham Ungar, World Scientific, 2010
• Hyperbolic Barycentric Coordinates, Abraham A. Ungar, The Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol.6, No.1, Article 18, pp. 1–35, 2009
• Weisstein, Eric W. "Areal Coordinates". MathWorld. 
• Weisstein, Eric W. "Barycentric Coordinates". MathWorld. 
• Barycentric coordinates computation in homogeneous coordinates, Vaclav Skala, Computers and Graphics, Vol.32, No.1, pp. 120–127, 2008

• Coordenadas homoxéneas.

• Law of the lever
• The uses of homogeneous barycentric coordinates in plane euclidean geometry
• Barycentric Coordinates – unha colección de documentos científicos about sobre coordenadas baricéntricas
• Barycentric coordinates: A Curious Application (solución ao problema dos "tres vasos ") en cut-the-knot
• Accurate point in triangle test
• Barycentric Coordinates in Olympiad Geometry by Evan Chen e Max Schindler
• Barycenter command e TriangleCurve command en Geogebra