Vecteur de Poynting

L'éponyme du vecteur de Poynting est le physicien anglais John Henry Poynting (1852-1914) qui l'a introduit en 1884^[5],[6],[7]. Oliver Heaviside (1850-1925) l'a découvert quelques mois plus tard et de manière indépendante^[5],[6],[8].

Le Vocabulaire électrotechnique international (VEI) définit le vecteur de Poynting ${\displaystyle {\vec {\Pi }}}$ comme le produit vectoriel du champ électrique ${\displaystyle {\vec {E}}}$ par le champ magnétique ${\displaystyle {\vec {H}}}$ du champ électromagnétique en un point donné^[9] :

${\displaystyle {\vec {\Pi }}={\vec {E}}\wedge {\vec {H}}}$ ^[9].

L'expression ci-dessus est connue comme la forme d'Abraham^[10],[11].

Dans le vide, le champ magnétique ${\displaystyle {\vec {H}}}$ est en tout point égal au quotient de l'induction magnétique ${\displaystyle {\vec {B}}}$ par la constante magnétique ${\displaystyle \mu _{0}}$ ^[12] :

${\displaystyle {\vec {H}}={\frac {\vec {B}}{\mu _{0}}}}$ ^[12],

de sorte que, dans le vide, la définition précédente du vecteur de Poynting est équivalente à^[13] :

${\displaystyle {\vec {\Pi }}={\vec {E}}\wedge {\frac {\vec {B}}{\mu _{0}}}}$ .

Par définition du produit vectoriel^[14], le vecteur de Poynting est un vecteur axial, orthogonal aux deux vecteurs ${\displaystyle {\vec {E}}}$ et ${\displaystyle {\vec {H}}}$ , tel que les trois vecteurs ${\displaystyle {\vec {E}}}$ , ${\displaystyle {\vec {H}}}$ et ${\displaystyle {\vec {\Pi }}}$ forment un trièdre direct ou un trièdre rétrograde selon l'orientation de l'espace ; et la norme du vecteur de Poynting est égale au produit des normes des deux vecteurs et du sinus de leur angle :

${\displaystyle \|{\vec {\Pi }}\|=\|{\vec {E}}\|\cdot \|{\vec {H}}\|\cdot \sin \vartheta }$ .

Soient ${\displaystyle {\vec {E}}}$ et ${\displaystyle {\vec {B}}}$ le champ électrique et le champ magnétique. La conservation de l'énergie électromagnétique à travers une surface s'exprime, dans sa forme locale (souvent appelée théorème de Poynting), comme une équation de conservation :

${\displaystyle {\frac {\partial e(t)}{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\Pi }}(t)=s(t)}$

avec ${\displaystyle t}$ le temps, ${\displaystyle e}$ la densité volumique d'énergie du champ électromagnétique, ${\displaystyle {\vec {\Pi }}}$ le flux d'énergie surfacique sortant, et ${\displaystyle s}$ le terme source : la densité volumique d'énergie gagnée ${\displaystyle s>0}$ ou perdue.

À partir des équations de Maxwell dans le vide, on tire l'expression du vecteur de Poynting dans le vide :

${\displaystyle {\vec {\Pi }}(t)={\frac {{\vec {E}}(t)\wedge {\vec {B}}(t)}{\mu _{0}}}}$

où μ₀ est la perméabilité du vide.

Dans un matériau linéaire, de perméabilité magnétique μ et dans lequel on peut négliger la dispersion et les pertes, il convient de prendre en compte l'excitation magnétique ${\displaystyle {\vec {H}}(t)}$ définie par la relation ${\displaystyle {\vec {B}}(t)=\mu \,{\vec {H}}(t)}$ . On obtient alors une expression plus générale du vecteur de Poynting^[15] :

${\displaystyle {\vec {\Pi }}(t)={\vec {E}}(t)\wedge {\vec {H}}(t)}$ .

Dans un milieu linéaire dispersif avec pertes, on conserve l'expression du vecteur de Poynting ${\displaystyle {\vec {\Pi }}={\vec {E}}\wedge {\vec {H}}}$ , mais le théorème de Poynting ne s'exprime plus avec ${\displaystyle e}$ et comporte des termes supplémentaires de dissipation^[16].

Dans le cas d'une onde électromagnétique plane progressive harmonique, on a

${\displaystyle {\vec {E}}={\vec {E}}_{0}\cos {(\omega t-\varphi )}}$

et

${\displaystyle {\vec {B}}={\vec {B}}_{0}\cos {(\omega t-\psi )}}$

On peut donc associer des grandeurs complexes aux champs ${\displaystyle {\vec {E}}}$ et ${\displaystyle {\vec {B}}}$ en posant (avec ${\displaystyle i}$ le nombre complexe tel que ${\displaystyle i^{2}=-1}$ ) :

${\displaystyle {\underline {\vec {E}}}={\underline {\vec {E}}}_{0}\,\mathrm {e} ^{i\omega t}={\vec {E}}_{0}\,\mathrm {e} ^{-i\varphi }\,\mathrm {e} ^{i\omega t}}$

et

${\displaystyle {\underline {\vec {B}}}={\underline {\vec {B}}}_{0}\mathrm {e} ^{i\omega t}={\vec {B}}_{0}\,\mathrm {e} ^{-i\psi }\,\mathrm {e} ^{i\omega t}}$ .

La moyenne temporelle du vecteur de Poynting vaut alors :

${\displaystyle \langle {\vec {\Pi }}\rangle ={\frac {1}{2\,\mu _{0}}}\;{\text{Re}}\left({\underline {\vec {E}}}\wedge {\underline {\vec {B}}}^{\star }\right)}$

où ${\displaystyle {\underline {\vec {B}}}^{\star }}$ désigne le conjugué de ${\displaystyle {\underline {\vec {B}}}}$

La moyenne temporelle du flux de Poynting est reliée à la luminance ${\displaystyle L(\Omega )}$ d'un faisceau se propageant dans la direction ${\displaystyle \Omega _{0}={\frac {\vec {\Pi }}{||{\vec {\Pi }}||}}}$ . Cette luminance est donnée par :

${\displaystyle L(\Omega )=\langle {\vec {\Pi }}\rangle \delta (\Omega -\Omega _{0})}$

où ${\displaystyle \delta }$ est la distribution de Dirac.

On vérifie que le premier moment de ${\displaystyle L(\Omega )}$ qui représente la densité de flux ${\displaystyle {\vec {f}}}$ retrouve le flux de Poynting :

${\displaystyle {\vec {f}}=\int _{S^{2}}\Omega L(\Omega )\mathrm {d} \Omega =\langle {\vec {\Pi }}\rangle }$

Une conséquence du théorème de Poynting est que la puissance électromagnétique traversant une surface S est donnée par le flux du vecteur de Poynting à travers cette surface.

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{S}=\iint _{S}{\vec {\Pi }}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}}$

Soit ${\displaystyle U_{em}}$ l'énergie du champ électromagnétique :

${\displaystyle U_{em}=\iiint _{V}W_{em}\mathrm {d} \tau }$

avec W densité volumique d'énergie (quantité d'énergie par unité de volume)

On définit la quantité d'énergie quittant un volume ${\displaystyle V}$ pendant un temps ${\displaystyle \mathrm {d} t}$  :

${\displaystyle -{\frac {\mathrm {d} U_{em}}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\iiint _{V}W_{em}\mathrm {d} \tau =-\iiint _{V}{\frac {\partial W_{em}}{\partial t}}\mathrm {d} \tau }$

Soit ${\displaystyle {\vec {P}}}$ , vecteur flux d'énergie du champ. D'après le théorème de Green-Ostrogradsky (Théorème de flux-divergence), on peut dire que le flux sortant du volume V est :

${\displaystyle \iint _{\Sigma }{\vec {P}}\cdot {\vec {n}}\ \mathrm {d} \sigma }$

avec ${\displaystyle {\vec {n}}}$ un vecteur unitaire normal à la surface ${\displaystyle \Sigma }$ du volume V, orienté de l'intérieur vers l'extérieur.

On peut expliciter la perte d'énergie du volume de la manière suivante :

• pertes dues aux « frottements » des charges mobiles (voir loi Ohm locale, effet Joule) ;
• pertes dues au rayonnement électromagnétique sortant du volume.

On peut donc dire que :

${\displaystyle -\iiint _{V}{\frac {\partial W_{em}}{\partial t}}\mathrm {d} \tau =\iiint _{V}{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {P}}\mathrm {d} \tau }$ + travail fourni par le champ à la matière

On calcule ce travail :

${\displaystyle {\vec {F}}_{\rm {{\acute {e}}lectrique}}=q({\vec {E}}+{\vec {v}}\wedge {\vec {B}})}$ .

Pour une particule :

${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {W}}={\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=q{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}}$ (on observe facilement que la force magnétique ne travaille pas).

On calcule maintenant la puissance fournie par le champ. La puissance reçue par une particule est :

${\displaystyle {\vec {F}}\cdot {\vec {v}}=q\,{\vec {E}}\cdot {\vec {v}}}$

La densité particulaire est notée ${\displaystyle N}$ , en conséquence :

${\displaystyle {\frac {\partial W_{Electrique}}{\partial t}}=Nq{\vec {E}}\cdot {\vec {v}}}$ or ${\displaystyle Nq{\vec {v}}={\vec {j}}}$

donc ${\displaystyle {\frac {\partial W_{Electrique}}{\partial t}}={\vec {j}}\cdot {\vec {E}}}$

Cette perte de puissance est égale à la perte d'énergie du champ par unité de temps et de volume donc on écrit finalement :

${\displaystyle -\iiint _{V}{\frac {\partial W_{em}}{\partial t}}d\tau =\iiint _{V}{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {P}}\mathrm {d} \tau +\iiint _{V}{\vec {j}}\cdot {\vec {E}}\mathrm {d} \tau }$

Donc finalement on a :

${\displaystyle -{\frac {\partial W_{em}}{\partial t}}={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {P}}+{\vec {j}}\cdot {\vec {E}}}$

qui correspond à l'équation de l'énergie du champ électromagnétique.