Utilisateur:A.K./BacASable

A.K.    ^(BlaBla) 13 juin 2006 à 13:51 (CEST)

On dit qu'un ensemble E est une paire lorsqu'il est formé de deux éléments distincts a et b, et s'écrit :

${\displaystyle E=\left\{a,b\right\}}$

• Si a = b alors l'ensemble {a, a} n'est pas une paire mais le singleton {a}.
• La paire est un ensemble non-ordonné, on peut indifféremment écrire {a, b} ou {b, a} pour désigner un unique ensemble. Ceci différencie la paire du couple que l'on note (a ; b).

{a,b} = {b,a} tandis que (a ; b) ${\displaystyle \neq }$ (b ; a)

• {1, 3} est une paire d'entiers.
• {sin, exp} est une paire de fonctions.
• {{1}, {1, 2}} est une paire d'ensembles d'entiers.

Un élément x appartient à une paire si et seulement si il est égal à l'un des deux éléments de cette paire ; ce qui s'écrit mathématiquement :

${\displaystyle \forall x\in \{a,b\},\quad (x=a)\vee (x=b)}$

Les paires {a, b} et {c, d} sont égales si et seulement si les éléments sont égaux deux à deux.

${\displaystyle \forall a,b,c,d,\quad (\{a,b\}=\{c,d\})\Leftrightarrow ((a=c\wedge b=d)\vee (a=d\wedge b=c))}$

Deux paires {a, b} et {c, d} sont disjointes si et seulement si les quatre éléments a, b, c et d sont deux à deux distincts.

${\displaystyle \forall a,b,c,d,\quad (\{a,b\}\bigcap \{c,d\}=\varnothing {})\Leftrightarrow (a\neq c\wedge a\neq d\wedge b\neq c\wedge b\neq d))}$

Une paire est évidemment un ensemble fini de cardinal 2.

• Le nombre de paires distinctes dans un ensemble à ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ éléments est égal à ${\displaystyle C_{n}^{2}}$ .

• Ensemble
• Singleton (mathématiques)
• Couple
• Fonction paire
• N-uplet