Transformation par polaires réciproques

L'origine étant prise au foyer, on définit la conique par son équation polaire ${\displaystyle \rho ={\frac {p}{1-e\cos \theta }}}$ .Le pôle d'une tangente est situé sur la perpendiculaire à celle-ci passant par le foyer (l'origine). Il a donc pour angle polaire ${\displaystyle \theta +V+{\frac {\pi }{2}}}$ où ${\displaystyle V}$ désigne l'angle entre ${\displaystyle (OM)}$ et la tangente.

On sait maintenant que le pôle est en division harmonique avec le projeté du foyer sur la tangente et l'intersection avec le cercle.

La distance du foyer à la tangente vaut ${\displaystyle d=\rho \cos(V+{\frac {\pi }{2}})=-\rho \sin V}$ le pôle cherché est donc à la distance ${\displaystyle {\frac {R^{2}}{d}}}$

Les coordonnées du pôle sont donc${\displaystyle x={\frac {R^{2}}{d}}\cos(\theta +V+{\frac {\pi }{2}})={\frac {R^{2}}{\rho }}\left[{\frac {\sin \theta }{\tan V}}+\cos \theta \right]}$

et ${\displaystyle y={\frac {R^{2}}{d}}\sin(\theta +V+{\frac {\pi }{2}})={\frac {R^{2}}{\rho }}\left[{\frac {\sin \theta }{\tan V}}+\cos \theta \right]}$

Mais ${\displaystyle \ \tan V={\frac {\rho }{\rho '}}=-{\frac {1-e\cos \theta }{e\sin \theta }}}$

d'où ${\displaystyle x={\frac {R^{2}}{p}}(1-e\cos \theta )\left[{\frac {e\sin ^{2}\theta }{1-e\cos \theta }}+\cos \theta \right]={\frac {R^{2}}{p}}(\cos \theta -e)}$

et${\displaystyle y=-{\frac {R^{2}}{p}}(1-e\cos \theta )\left[-{\frac {e\sin \theta \cos \theta }{1-e\cos \theta }}-\sin \theta \right]=-{\frac {R^{2}}{p}}\sin \theta }$

d'où il résulte sans peine :${\displaystyle \left(x+{\frac {eR^{2}}{p}}\right)^{2}+y^{2}={\frac {R^{4}}{p^{2}}}.}$

On obtient donc bien un cercle de centre ${\displaystyle \left({\frac {eR^{2}}{p}},O\right)}$ qui est le pôle de la droite d'équation ${\displaystyle X=-{\frac {p}{e}}}$ c'est-à-dire la directrice.