Théorème de Steinhaus
Le théorème de Steinhaus[1],[2] est un résultat mathématique d'analyse réelle selon lequel si une partie de l'espace euclidien est mesurable et de mesure strictement positive, alors l'ensemble des différences d'éléments de contient une boule de centre 0 et de rayon non nul. Il se généralise aux groupes localement compacts et aux différences de deux parties non nécessairement égales.
Généralisations
- Si G est un groupe localement compact et A une partie de G de mesure de Haar (à gauche) strictement positive, alors l'ensemble
- La conclusion s'étend au produit de deux parties non nécessairement symétriques l'une de l'autre : si A et B sont deux parties de G de mesures de Haar non nulles, alors l'ensemble
- La conclusion s'étend aussi, dans un groupe topologique quelconque, à toute partie A non maigre ayant la propriété de Baire, c'est-à-dire égale à un ouvert à un maigre près[3],[4].
Démonstrations
- La preuve suivante de la première généralisation est due à Karl Stromberg[5]. Notons λ la mesure de Haar et supposons que 0 < 3ε = λ(A) < ∞. Par régularité de λ, il existe un compact K inclus dans A et un ouvert U contenant A tels que λ(K) > 2ε et λ(U) < 4ε, donc tels que λ(U) < 2λ(K). Comme l'ouvert U contient le compact K, il contient VK pour un certain voisinage V de l'élément neutre. On conclut en montrant que V est inclus dans KK–1 : pour tout v∈V, λ(vK∩K) = λ(vK)+λ(K)–λ(vK∪K) ≥ 2λ(K)–λ(U) > 0 donc vK∩K est non vide, autrement dit v∈KK–1.
- La preuve suivante de la deuxième généralisation est due à André Weil[6],[7]. Soient A et B de mesures strictement positives et finies. Le produit de convolution de leurs indicatrices est une fonction continue. D'après le théorème de Fubini, cette fonction est non nulle, ce qui conclut.
Corollaire
Dans ZFC (la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel avec l'axiome du choix mais sans l'hypothèse du continu), toute partie de Lebesgue-mesurable et non négligeable a la puissance du continu[8].
Notes et références
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Steinhaus theorem » (voir la liste des auteurs).
Article connexe
Conjecture de Falconer (en)