Théorème de récurrence de Poincaré
Le théorème de récurrence de Poincaré dit que, pour presque toutes les « conditions initiales », un système dynamique conservatif dont l'espace des phases est de « volume » fini va repasser au cours du temps aussi près que l'on veut de sa condition initiale, et ce de façon répétée.
Contexte
Système dynamique
Soit un système dynamique mesuré, c’est-à-dire un triplet où :
est un espace mesurable, qui représente l'espace des phases du système.
est une mesure finie sur
,
est une fonction mesurable préservant la mesure
, c’est-à-dire telle que :
Récurrence d'un point
Soit un sous-ensemble mesurable. Un point
est dit récurrent par rapport à
si
Autrement dit : est récurrent par rapport à
si pour tout entier naturel
, il existe un entier
tel que
, c'est-à-dire si
.
Théorème de récurrence de Poincaré
Soit un sous-ensemble mesurable pour la mesure
. Alors, presque tous[1] les points de
sont récurrents par rapport à
[2],[3].
Histoire
Le théorème a été publié par Poincaré en 1890 dans l'article Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique[5]. Ce mémoire vaudra à son auteur le prix du roi Oscar, roi de Norvège et de Suède et passionné de mathématiques. Le jury était composé de Weierstrass, Mittag-Leffler et Hermite. L'histoire de ce mémoire est célèbre[6].
Notes et références
Voir aussi
Articles connexes
Lien externe
François Béguin, « Le théorème de récurrence de Poincaré », sur Images des maths,