Théorème de Steinhaus

• Si G est un groupe localement compact et A une partie de G de mesure de Haar (à gauche) strictement positive, alors l'ensemble${\displaystyle AA^{-1}=\{ab^{-1}\mid a,b\in A\}}$ est un voisinage de l'élément neutre.
• La conclusion s'étend au produit de deux parties non nécessairement symétriques l'une de l'autre : si A et B sont deux parties de G de mesures de Haar non nulles, alors l'ensemble${\displaystyle AB=\{ab\mid a\in A,b\in B\}}$ est d'intérieur non vide^[2].
• La conclusion s'étend aussi, dans un groupe topologique quelconque, à toute partie A non maigre ayant la propriété de Baire, c'est-à-dire égale à un ouvert à un maigre près^[3],[4].

• La preuve suivante de la première généralisation est due à Karl Stromberg^[5]. Notons λ la mesure de Haar et supposons que 0 < 3ε = λ(A) < ∞. Par régularité de λ, il existe un compact K inclus dans A et un ouvert U contenant A tels que λ(K) > 2ε et λ(U) < 4ε, donc tels que λ(U) < 2λ(K). Comme l'ouvert U contient le compact K, il contient VK pour un certain voisinage V de l'élément neutre. On conclut en montrant que V est inclus dans KK^–1 : pour tout v∈V, λ(vK∩K) = λ(vK)+λ(K)–λ(vK∪K) ≥ 2λ(K)–λ(U) > 0 donc vK∩K est non vide, autrement dit v∈KK^–1.
• La preuve suivante de la deuxième généralisation est due à André Weil^[6],[7]. Soient A et B de mesures strictement positives et finies. Le produit de convolution de leurs indicatrices est une fonction continue. D'après le théorème de Fubini, cette fonction est non nulle, ce qui conclut.

Dans ZFC (la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel avec l'axiome du choix mais sans l'hypothèse du continu), toute partie de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ Lebesgue-mesurable et non négligeable a la puissance du continu^[8].