Théorème de Carmichael

Étant donné deux entiers premiers entre eux ${\displaystyle P,Q}$ , tels que ${\displaystyle D=P^{2}-4Q>0}$ et PQ ≠ 0, soit U(P, Q) la suite de Lucas de première espèce définie par

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(P,Q)&=0,\\U_{1}(P,Q)&=1,\\U_{n}(P,Q)&=P\cdot U_{n-1}(P,Q)-Q\cdot U_{n-2}(P,Q)\qquad {\mbox{ pour }}n>1.\end{aligned}}}$

Alors, pour ${\displaystyle n\neq 1,2,6}$ , ${\displaystyle U_{n}(P,Q)}$ a au moins un diviseur premier qui ne divise aucun ${\displaystyle U_{m}(P,Q)}$ avec ${\displaystyle 0<m<n}$ , sauf ${\displaystyle U_{12}(1,-1)=F_{12}=144}$ , et

${\displaystyle U_{12}(-1,-1)=-F_{12}=-144}$ . Un tel nombre premier ${\displaystyle p}$ est appelé facteur caractéristique ou diviseur premier primitif de ${\displaystyle U_{n}(P,Q)}$ .

Carmichael a en fait montré un théorème légèrement plus fort : Pour ${\displaystyle n\neq 1,2,6}$ , ${\displaystyle U_{n}(P,Q)}$ a au moins un diviseur premier primitif ne divisant pas ${\displaystyle D}$ ^[3] sauf ${\displaystyle U_{3}(1,-2)=U_{3}(-1,-2)=3,U_{5}(1,-1)=U_{5}(-1,-1)=F(5)=5,U_{12}(1,-1)=F(12)=144,U_{12}(-1,-1)=-F(12)=-144}$ .

Notez que ${\displaystyle D}$ doit être strictement positif ; ainsi les cas ${\displaystyle U_{13}(1,2),U_{18}(1,2),U_{30}(1,2),}$ etc. ne sont pas inclus, puisque dans ces cas ${\displaystyle D=-7<0}$ .

Les seules exceptions dans les nombres de Fibonacci pour ${\displaystyle n}$ jusqu'à 12 sont :

${\displaystyle F_{1}=1}$ et ${\displaystyle F_{2}=1}$ , qui n'ont pas de diviseurs premiers

${\displaystyle F_{6}=8}$ , dont le seul diviseur premier est 2 (qui est ${\displaystyle F_{3}}$ )

${\displaystyle F_{12}=144}$ , dont les seuls diviseurs premiers sont 2 (qui est ${\displaystyle F_{3}}$ ) et 3 (qui est ${\displaystyle F_{4}}$ )

La suite des plus petits diviseurs premiers primitifs de ${\displaystyle F_{n}}$ pour ${\displaystyle n\geqslant 1}$ (prenant la valeur 1 si ce diviseur premier n'existe pas) :

1, 1, 2, 3, 5, 1 (${\displaystyle n}$ = 6), 13, 7, 17, 11, 89, 1 (${\displaystyle n}$ = 12), 233, 29, 61, 47, 1597, 19, 37, 41, 421, 199, 28657, 23, 3001, 521, 53, 281, 514229, 31, 557, 2207, 19801, 3571, 141961, 107, 73, 9349, 135721, 2161, 2789, 211, 433494437, 43, 109441... suite A001578 de l'OEIS

Si ${\displaystyle n>1}$ , le nombre de Pell d'indice ${\displaystyle n}$ a au moins un diviseur premier qui ne divise aucun nombre de Pell antérieur. Ces plus petits diviseurs premiers primitifs pour ${\displaystyle n\geqslant 1}$ (avec la même définition en cas de non existence que ci-dessus) sont :

1, 2, 5, 3, 29, 7, 13, 17, 197, 41, 5741, 11, 33461, 239, 269, 577, 137, 199, 37, 19, 45697, 23, 229, 1153, 1549, 79, 53, 113, 44560482149, 31, 61, 665857, 52734529, 103, 1800193921, 73, 593, 9369319, 389, 241... suite A246556 de l'OEIS

• Théorème de Zsigmondy (qui énonce une propriété similaire pour les suites ${\displaystyle (a^{n}\pm b^{n})}$ ).