Test de Pépin

Soit ${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}$  le n-ième nombre de Fermat. Le test de Pépin indique que, pour n > 0^[1]: 

${\displaystyle F_{n}}$  est premier si et seulement si ${\displaystyle 3^{(F_{n}-1)/2}\equiv -1{\pmod {F_{n}}}.}$

L'expression ${\displaystyle 3^{(F_{n}-1)/2}}$ peut être évaluée modulo ${\displaystyle F_{n}}$  par exponentiation rapide. Le test a donc une faible complexité en temps. Cependant, les nombres de Fermat croissent si rapidement que seule une poignée d'entre eux peut être testée dans un laps de temps et d'espace raisonnable.

D'autres bases peuvent être utilisées à la place de 3, par exemple 5, 6, 7 ou 10 (suite A129802 de l'OEIS).

Condition suffisante : supposons que la congruence

${\displaystyle 3^{(F_{n}-1)/2}\equiv -1{\pmod {F_{n}}}}$ soit vérifiée.

En élevant au carré, nous obtenons ${\displaystyle 3^{F_{n}-1}\equiv 1{\pmod {F_{n}}}}$ , donc l'ordre multiplicatif de 3 modulo ${\displaystyle F_{n}}$ divise ${\displaystyle F_{n}-1=2^{2^{n}}}$ , qui est une puissance de deux. D'autre part, l'ordre ne divise pas ${\displaystyle (F_{n}-1)/2}$ , et doit donc être égal à ${\displaystyle F_{n}-1}$ . Or, d'après le théorème d'Euler, l'ordre multiplicatif de 3 modulo ${\displaystyle F_{n}}$ divise φ(${\displaystyle F_{n}}$ ) (où φ est l'indicatrice d'Euler), et dans ce cas précis, lui est donc égal (car φ(k) ne peut être supérieure à k - 1).

Il existe donc ${\displaystyle F_{n}-1}$ nombres inférieurs à ${\displaystyle F_{n}}$ premiers avec ${\displaystyle F_{n}}$ , ce qui signifie que ${\displaystyle F_{n}}$ est premier.

Condition nécessaire : supposons que ${\displaystyle F_{n}}$ soit premier.

D'après le critère d'Euler,

${\displaystyle 3^{(F_{n}-1)/2}\equiv \left({\frac {3}{F_{n}}}\right){\pmod {F_{n}}}}$ , où  ${\displaystyle \left({\frac {3}{F_{n}}}\right)}$ est le symbole de Legendre.

${\displaystyle F_{n}}$ est premier et ${\displaystyle F_{n}\equiv 1{\pmod {4}}}$ , d'où ${\displaystyle \left({\frac {3}{F_{n}}}\right)=\left({\frac {F_{n}}{3}}\right)}$ , d'après la loi de réciprocité quadratique.

Par élévations au carré successives, on trouve${\displaystyle 2^{2^{n}}\equiv 1{\pmod {3}}}$ , donc ${\displaystyle F_{n}\equiv 2{\pmod {3}}}$ , et alors : ${\displaystyle \left({\frac {F_{n}}{3}}\right)=\left({\frac {2}{3}}\right)=-1}$ .

On obtient donc ${\displaystyle 3^{(F_{n}-1)/2}\equiv -1{\pmod {F_{n}}}}$ .

En raison de la rareté des nombres de Fermat, le test de Pépin n'a été utilisé que huit fois (sur des nombres de Fermat dont les statuts de primalité ne sont pas encore connus)^[2],[3],[4]. Mayer, Papadopoulos et Crandall pensent que, en raison de la taille des nombres de Fermat encore indéterminés, il faudra des décennies avant que la technologie permette d'exécuter plus de tests de Pépin^[5]. En 2020, le plus petit nombre de Fermat non testé sans facteur premier connu est ${\displaystyle F_{33}}$ ^[3] qui est composé de 2 585 827 973 chiffres.

Année	Chercheurs	nombre de Fermat	Résultat du test de Pépin	Facteur trouvé plus tard?
1905	Morehead & Western	${\displaystyle F_{7}}$	composé	Oui (1970)
1909	Morehead & Western	${\displaystyle F_{8}}$	composé	Oui (1980)
1952	Robinson	${\displaystyle F_{10}}$	composé	Oui (1953)
1960	Paxson	${\displaystyle F_{13}}$	composé	Oui (1974)
1961	Selfridge & Hurwitz	${\displaystyle F_{14}}$	composé	Oui (2010)
1987	Buell & Young	${\displaystyle F_{20}}$	composé	Non
1993	Crandall, Doenias, Norrie & Young	${\displaystyle F_{22}}$	composé	Oui (2010)
1999	Mayer, Papadopoulos & Crandall	${\displaystyle F_{24}}$	composé	Non

• Crible d'Ératosthène
• Théorème de Proth
• Théorème de Pocklington
• Test de primalité de Miller-Rabin
• Test de primalité de Fermat
• Test de primalité de Solovay-Strassen
• Test de primalité de Lucas-Lehmer
• Test de primalité de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne
• Spirale d'Ulam
• Spirale de Sacks