Suite généralisée
En mathématiques, la notion de suite généralisée, ou suite de Moore-Smith[1], ou filet[2],[3], étend celle de suite, en indexant les éléments d'une famille par des éléments d'un ensemble ordonné filtrant qui n'est plus nécessairement celui des entiers naturels.
Définition
Pour tout ensemble X, une suite généralisée d'éléments de X est une famille d'éléments de X indexée par un ensemble ordonné filtrant A. Par filtrant (à droite), on entend que toute paire dans A possède un majorant dans A[4].
Filets et filtres
Soit un filet dans un ensemble E et, pour tout
,
. L'ensemble
est une base de filtre de E, appelé base du filtre élémentaire associé au filet
.
Réciproquement, soit un filtre sur un ensemble E,
une base de
, ordonnée par l'inclusion. Pour tout
, soit
. Le filet
est dit associé à
.
Deux filets et
sont dits équivalents (on précise parfois : AA équivalents, car d'autres types d'équivalences sont possibles et celui-ci est dû à Aarnes et Andenæes) si les filtres élémentaires qui leur sont associés sont identiques[5].
En particulier, deux suites et
dans E sont des filets équivalents si, et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées[6] :
- (i) les ensembles de leurs valeurs ne diffèrent que par un nombre fini de points ;
- (ii) pour tout point
,
est fini si, et seulement si
est fini.
Par exemple, les suites (0,5,6,7,8,...) et (1,5,6,7,8,...) sont des filets équivalents.
Sous-filets
Il existe plusieurs notions de sous-filet (en)[7]. On en détaille quelques-unes parmi les plus importantes :
- Un filet
dans E est un « sous-filet au sens de Aarnes et Andenæes », ou « AA sous-filet », de
, si le filtre élémentaire associé à y est plus fin que le filtre élémentaire associé à x. Cela revient à dire que pour tout
, il existe
tel que
[8],[5]. Deux filets sont équivalents si, et seulement si chacun d'eux est un AA sous-filet de l'autre.
- Un filet
dans E est un « sous-filet de Kelley »[9] de
s'il existe une fonction
telle que pour tout
, il existe
tel que
, et
pour tout
.
- Un filet
dans E est un « sous-filet de Willard »[10],[8] de
s'il existe une fonction croissante
telle que pour tout
, il existe
vérifiant
, et
pour tout
. Par exemple, le filet (1, 1, 2, 3, 4, ...) est un sous-filet de Willard du filet (1, 2, 3, 4, ...).
- Soit un filet
dans E. Un sous-ensemble J de I est dit fréquent si pour tout
, il existe
tel que
. Alors
est appelé un « sous-filet fréquent » de x. Un sous-filet fréquent d'une suite
est une suite extraite
.
On a de façon générale :
Par exemple, le filet (1, 1, 2, 2, 3, 3, …) est un sous-filet de Willard, mais non pas un sous-filet fréquent, de la suite (1, 2, 3, …). Soit, pour ,
et
si n est pair,
si n est impair. Alors
est un sous-filet de Kelley de
, mais pas un sous-filet de Willard. Enfin, il existe des exemples de AA sous-filets qui ne sont pas des sous-filets de Kelley[5].
Un AA sous-filet d'un filet x est équivalent à un sous-filet de Willard de x. Pour les questions de convergence, en topologie, on peut donc employer de manière équivalente les notions de sous-filet de Willard, de sous-filet de Kelley, ou de AA sous-filet. En revanche, la notion de sous-filet fréquent (bien qu'elle soit la généralisation naturelle de celle de suite extraite) présente des inconvénients, comme on le montre plus loin.
Dans ce qui suit, sauf mention du contraire, les sous-filets sont des AA sous-filets.
Ultrafilet
On dit qu'un filet est ultimement dans un sous-ensemble A de E s'il existe
tel que
pour tout
.
Un filet x dans un ensemble E est appelé un ultrafilet si pour tout sous-ensemble A, x est ultimement dans A ou dans son complémentaire. Si est un ultrafiltre, tout filet associé à
est un ultrafilet. Réciproquement, si x est un ultrafilet, le filtre élémentaire associé à x est un ultrafiltre[11].
Tout filet admet un sous-filet qui est un ultrafilet. En effet, soit x un filet dans E, le filtre élémentaire associé à x,
un ultrafiltre plus fin que
, et y un filet associé à
; alors y est un sous-filet de x et est un ultrafilet.
Notions topologiques
Les notions usuelles de limite de suite et de suite de Cauchy s'étendent aux filets :
- dans un espace topologique, on dit qu'un filet
converge vers a si pour tout voisinage U de a, il existe
tel que pour tout
, l'élément
appartienne à U. Cela équivaut à dire que le filtre élémentaire associé à
converge vers a.
- dans un espace uniforme, un filet
est dit de Cauchy si pour tout entourage V, il existe
tel que pour tous
, le couple
appartienne à V. Cela revient à dire que le filtre élémentaire associé à
est un filtre de Cauchy.
Théorème — Soient E et F deux espaces topologiques et a un point de E.
Une application est continue en a si et seulement si pour tout filet
convergeant vers a dans E, le filet
converge vers
dans F.
Théorème — Soient E un espace topologique et A une partie de E.
De manière générale, les propriétés des filets se déduisent des propriétés des filtres élémentaires qui leur sont associés. En particulier :
- Un point a de E est dit adhérent au filet
si pour tout voisinage U de a, et tout
, il existe
tel que
. Cela revient à dire que a est adhérent au filtre élémentaire associé au filet
, ou encore qu'il existe un sous-filet de
convergeant vers a.
- Un espace topologique séparé E est compact si, et seulement si tout ultrafilet de E est convergent ou, de manière équivalente, si tout filet de E admet un sous-filet convergent.
- Soit, dans un espace vectoriel topologique E, un filet
, et disons qu'il est borné s'il existe
tel que
est un sous-ensemble borné de E. Cela équivaut à dire que le filtre élémentaire associé à
est borné. L'espace E est quasi complet si, et seulement si tout filet de Cauchy borné de E est convergent. Une suite de Cauchy est un filet borné, mais un filet de Cauchy ne l'est pas nécessairement.
- Remarque
- Dans un espace compact mais non séquentiellement compact, il existe une suite
qui n'a pas de suite extraite convergente, mais qui a un AA sous-filet (ou un sous-filet de Willard) convergent. Ce sous-filet n'est donc pas équivalent à un sous-filet fréquent de
. La notion de sous-filet fréquent n'est donc pas adaptée aux questions de topologie.