Octaèdre tronqué

L'octaèdre dont provient l'octaèdre tronqué a pour longueur d'arête ${\displaystyle b=3a}$ . On peut le voir comme la réunion de deux pyramides de base carrée (d'arête b) et de hauteur ${\displaystyle \textstyle b{\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ , donc de volume ${\displaystyle \textstyle v_{0}={\frac {1}{3}}\left(b{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)b^{2}=b^{3}{\frac {\sqrt {2}}{6}}}$ . Chacune des 6 petites pyramides retirées de l'octaèdre était 3 fois plus petite donc 3³ = 27 fois moins volumineuse : ${\displaystyle v_{1}=v_{0}/27.}$ Le volume de l'octaèdre tronqué est donc : ${\displaystyle \textstyle V=2v_{0}-6v_{1}=\left(2-{\frac {6}{27}}\right)b^{3}{\frac {\sqrt {2}}{6}}={\frac {8}{27}}{\sqrt {2}}\ b^{3}=8{\sqrt {2}}\ a^{3}.}$

La surface de l'octaèdre tronqué est composée de 6 faces carrées et 8 faces hexagonales, chacune de côté a. Chaque carré est d'aire ${\displaystyle A_{\mathrm {c} }=a^{2}.}$ On peut voir chaque hexagone comme la réunion de 6 triangles équilatéraux de côté a donc d'aire ${\displaystyle \textstyle A_{\mathrm {t} }={\frac {1}{2}}(a)\left(a{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)=a^{2}{\frac {\sqrt {3}}{4}}}$  : l'aire de chaque hexagone est ${\displaystyle \textstyle A_{\mathrm {h} }=6A_{\mathrm {t} }={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}.}$ L'aire totale est donc finalement : ${\displaystyle \textstyle A=6A_{\mathrm {c} }+8A_{\mathrm {h} }=(6+12{\sqrt {3}})\ a^{2}.}$